GARCH 過程的線性組合也是 GARCH 過程嗎？
如果兩個時間序列遵循 GARCH 過程，第三個是它們的線性組合，那麼第三個也是 GARCH 過程嗎？
我認為有很多不同的方法來指定這個問題。為簡單起見，考慮獨立的 Garch 程序
$$ r_{1,t} \sim N\left(0,\sigma_{1,t}^{2}\right) $$ $$ \sigma_{1,t}^{2} = \beta_{1,1}+\beta_{1,2}\varepsilon_{1,t-1}^{2}+\beta_{1,3}\sigma_{1,t-1}^{2} $$ 和 $$ r_{2,t} \sim N\left(0,\sigma_{2,t}^{2}\right) $$ $$ \sigma_{2,t}^{2} = \beta_{2,1}+\beta_{2,2}\varepsilon_{2,t-1}^{2}+\beta_{2,3}\sigma_{2,t-1}^{2} $$ 在哪裡 $ \left[\begin{array}{cc} \varepsilon_{1,t} & \varepsilon_{2,t}\end{array}\right]\sim N\left(0,\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\ 0 & 1 \end{array}\right]\right) $ . 在這種情況下，線性組合等於
$$ r_{3,t} = \alpha_{1}r_{1,t}+\alpha_{2}r_{2,t} \sim N\left(0,\alpha_{1}^{2}\sigma_{1,t}^{2}+\alpha_{2}^{2}\sigma_{2,t}^{2}\right) $$ 假設 Garch 方程中的係數被約束為正並且在滯後值上總和小於或等於 1，則 $ r_{3,t} $ 由於繼承了其他變數的 Garch 變異數，因此也將遵循 Garch 過程。