時間序列
平穩過程一定是均值回歸嗎？
直覺地說，一個平穩的隨機過程需要是均值回复的。這應該立即從平穩性的定義中得出：過程的均值需要隨著時間的推移保持不變，因此當過程偏離均值時，它應該遲早回到它。
這個推理正確嗎？怎麼能正式證明呢？
“均值回歸”的概念在連續時間內很棘手。大多數人會稱“均值回歸”是一個漂移拉回長期均值的過程，我認為這也是您的意思。類似於 OU 程序的漂移。
然而，在連續時間內，波動性可能會產生“拉動”。例如，過程 $$ dX_t = dt+X_t^2 dW_t $$ 是靜止的，儘管漂移似乎將路徑推向無窮大。我看到這種行為的第一個地方是Conley 等人 1997 年的論文（第 12 頁底部）。
在這些過程中，“拉”是由波動引起的，在這個例子中，它足以克服漂移。對於一般過程 $X_t = \mu(X_t)+\sigma(X_t)dW_t$，這個“拉”由尺度密度 $$s(x)=\exp\left(-\int^x \frac{\ mu(u)}{\sigma^2(u)}du\right)$$
我認為這些事情不會發生在離散時間過程中。
讓我們考慮下面的例子：程序用 $\pm1$ 隨機初始化，然後永遠停留在那裡。對我來說似乎是靜止的，但它永遠不會超過它的平均值。