獨立布朗運動的平均值仍然是布朗運動嗎？
如果 $ W $ 和 $ B $ 是獨立的布朗運動（此後是 BM），那麼 $ W $ 和 $ B $ 是 $ X_t=\frac{1}{2}(W_t+B_t) $ .
我從哪裡開始表明它確實仍然是 BM？
此外，如果兩者都是鞅，那麼 $ X_t $ 也必須是鞅。考慮到它有兩個隨機變數，我將如何證明這一點？
這幾乎是布朗運動。只是變異數不正確：
這個問題比看起來更棘手。布朗運動具有如下所述的分佈特性，BM 的線性組合也是如此。但畢竟它是必須定義的特定過濾（資訊集）中的鞅。 $ B_t $ 是一個 BM 在它自己的過濾中，所以是 $ W_t $ . 均值是其自身過濾和由 $ B_t+W_t $ .
對於分佈考慮 $ E[B_t] = E[W_t]=0 $ 和 $ Var[B_t] = Var[W_t]=t $ . 然後 $ E[X_t]=0 $ 和 $ Var[X_t] = 1/2 t $ 前提是 $ (B_t){t\ge0} $ 和 $ (W_t){t\ge0} $ 是獨立的。高斯定律是一個眾所周知的事實。
編輯： $ VAR[1/2(W_t+B_t)] = 1/4 (VAR[W_t] + VAR[B_t]) = 1/4 (t+t)= 1/2 t $ . 所以變異數是錯誤的，它不是BM。
讓我們 $ W_t $ 和 $ B_t $ 是兩個獨立的布朗運動，其中：
$ W_t $ ~ $ N(0, t) $ ,
$ B_t $ ~ $ N(0, t) $
$ Cov(W_t,B_t)=0 $
我們知道兩個高斯隨機變數的和也是高斯的。
$$ E(1/2(W_t+B_t)) = 1/2(E(W_t+B_t))=0 $$ $$ Var(1/2(W_t+B_t))=1/4(var(W_t+B_t))=1/4(var(W_t)+var(B_t))=.5t $$ 因為 $ W_t $ 和 $ B_t $ 是獨立的。所以：
$ X_t $ = $ 1/2(B_t+W_t) $ ~ $ N(0, .5t) $
編輯 ： $ X_t $ 有連續的路徑和 $ X_t=0 $ 為了 $ t=0 $ 但 $ Var(X_t) \neq t $ （布朗運動的必要條件）。因此 $ X_t $ 不是布朗運動。
@Gordon 正確提及 $ \sqrt{1/2}(Wt+Bt) $ 是 BM 但不是 $ X_t $ .