時間序列
這兩種預測/估計方法之間是否存在關係？
在學習計量經濟學時，我通常從以下角度看到一些東西：
- 認為 $ Y_t = f(X_t) + e_t $ , 其中 f 是 $ X_t $ （通常是線性的）。例如，假設 $ Y_t = X_t * \beta + e_t $ . 那麼如果 $ e_t $ 滿足某些屬性，OLS 估計器將收斂到 beta。
但是我也見過，但不太常見：
- 不假設函式之間的關係 $ Y_t $ 和 $ X_t $ . 在沒有任何假設的情況下，我們知道存在一個最優的線性近似 $ E[Y_t|X_t] $ （這樣的阿爾法 $ X_t*\alpha + e_t $ 例如，最小化 MSE）。現在如果我們假設 $ (Y_t,X_t) $ 是共變異數平穩的，OLS 估計器收斂到 alpha。
對我來說，似乎 2. 的觀點更有趣，因為分析不是基於假設 Y 和 X 具有特定的函式關係。相反，像“共變異數平穩”這樣的假設似乎比假設 $ Y = a + bX + e $ .
有沒有理由為什麼似乎更多地關注 1.？這兩種觀點是否以某種方式相關？
方法 1 是參數回歸，而方法 2 是非參數回歸。
它們是如何相關的：非參數回歸對所有可能的函式形式的整個分佈進行建模，然後進行積分以計算單個值 E
$$ Y|X $$. 它是無函式形式的。相反，參數線性回歸假設函式形式可以通過 Y 和 X 之間的簡單線性關係很好地描述。 所以，是的，方法 2 比方法 1 更靈活。但是，這種靈活性確實是有代價的。為了在估計中達到可接受的標準誤差，非參數回歸通常需要比簡單線性回歸大得多的觀察量。此外，線性回歸有一個簡單的解釋（X 增加 1 個單位會使 Y 增加 alpha 單位），但非參數回歸結果並不那麼直覺（您可以將其視為 Y 在X=X0)。
查看有關“總最小二乘法”的計量經濟學文獻（van huffel 有一個以該名稱命名的文本）……或更一般地考慮主成分的作用（提示：它最小化到回歸線的距離，如＃2。 .它不僅僅是最小化“垂直”距離）