配對交易：關於非負利潤、頭寸大小和交易信號的問題
我正在嘗試對 Pairs Trading 進行回測，但對選擇配對的不同方法、如何尋找交易信號以及在資產中持有的頭寸規模感到有些困惑。
我現在正在做的是我正在測試對之間的協整，我正在使用 Engle-Granger 來獲得資產的固定線性組合中的係數。
$ X_t = bY_t+a + \epsilon_t $
之後我檢查殘差 $ \epsilon_t = X_t-bY_t-a $ 用於交易信號。如果剩餘的絕對值大於某個預定數量，我會開倉。當殘差反轉回 0 時，交易關閉。
收到信號時，我想以等量（1 美元多頭/空頭）交易多頭/空頭，如 Gatev 等人。和許多其他人。但我意識到，使用這些信號和這個殘差，你實際上可以從等量的多頭/空頭頭寸中蒙受損失。
所以我試圖弄清楚他們（Gatev 和其他人）是如何尋找交易信號的，但我所看到的任何地方都沒有得到很好的解釋（尤其是在他們的原始文章中）。它只是說他們使用協整或 OLS 或類似的東西，然後交易 1 美元多頭、1 美元空頭等。
那麼他們是做什麼的呢？他們是否在沒有常數 a 的情況下測試線性組合中的平穩性？ $ X_t = bY_t + \epsilon_t $
或者是否有任何額外的條件（在交易信號中）我可以添加以避免這種潛在的損失？由於這取決於關閉時資產的價值，我猜不會。您是否建議查看其他一些交易信號的殘差？
我知道你可以在不同的資產中持有頭寸 1 和 b，以確保交易不會造成任何損失，但這會使承諾資本的回報計算變得非常複雜。因此，我寧願不使用這種方法。
編輯：
既然我被誤解了，我會試著澄清我在問什麼。
每筆交易的利潤： $ P = N_x X_c - N_x X_o + N_y Y_o - N_yY_c $ 如果你在 X 上做多，在 Y 上做空。
假設我們的關係來自協整，我們有結束的關係。打開我們有：
$ X_o = bY_o + a + \epsilon_o $ 在哪裡 $ \epsilon_o $ 大於某個值 U 或小於 -U。如果我們在 X 上做多，在 Y 上做空，這意味著它小於 -U。
$ X_c = bY_c + a + \epsilon_c $ 在哪裡 $ \epsilon_c $ 大於 0。
這給了我們利潤：
$$ P = N_x (bY_c + a + \epsilon_c) - N_x (bY_o + a + \epsilon_o) + N_y Y_o - N_yY_c = $$ 現在假設我們在 X 中分別佔據位置 1 和 b。Y. 這給了我們：
$$ P=\epsilon_c - \epsilon_o > U $$ 但是，如果我在每項資產上投資等量，則利潤將是：
$$ P = Y_c/Y_o - X_c/X_o $$ 這不是嚴格積極的。所以這就是我問 Gatev 等人的原因。（和其他人）用於尋找交易信號。他們是否將平穩時間序列建模為 $ X_t = bY_t + \epsilon_t $ ? 他們也提到了標準化的價格序列，但他們沒有詳細解釋他們做了什麼。這讓我很困惑，我無法弄清楚。
我將嘗試通過範例來解決您的查詢。
$ X= 2*Y + a + e $ , 給你 $ X $ 和長 $ Y $ , 和係數 $ Y $ 是 $ 2 $ . 比方說 $ X=100 $ 和 $ Y=49 $ （IE $ X $ ‘沙 $ Y $ 的目前價格）和 $ a=1 $ 並且 $ e=1 $ .
現在您需要執行交易以賺錢 $ e $ 變成 $ 0 $ . 因此，為了從交易中賺錢，您將賣出 1 股 $ X $ 併購買 2 股 $ Y $ . 現在，如果您的係數相同，即 2 和 $ a=1 $ ， 此時此刻 $ e $ 變成0你就會賺錢。
在這對交易中，您不需要在兩者中投入相同的資金 $ X $ 和 $ Y $ , 但無論數量 $ X $ 你賣你必須買兩倍數量的 $ Y $ .
我確實理解您的困惑，對於已經開始研究這些主題的人來說，可能會有很多問題。關於頭寸的大小：它絕對不必為 1，或者在兩種資產中通常相同。收到信號後，您必須以適合您的想法的規模進行交易，例如，如果您要說“delta 對沖”或“市場中性”，您必須選擇能夠為您提供…協整向量的值。