用於風險分桶的 PCA
我正在開展一個項目，以證明使用某些期限（2y、5y、10y、30y）進行風險分桶是合理的。計算主成分後我有點卡住了。只是為了描述我的方法-
a) 獲得 2 年曆史數據的 1-60 年的英鎊掉期利率（假設 X 矩陣）。
b) 計算每日差異，然後計算相關矩陣
c）計算特徵值和特徵向量矩陣（比如A）
d) 為了取回 PC 率 Y（例如，PC01、PC02、…PC60），我對退化的 X 矩陣和特徵向量（例如，X_dm 和 A）進行了矩陣乘法
e) 繪製 PC01、PC02 和 PC03，形狀確認了水平、坡度和曲率的預期
f) 根據我在一篇文章中讀到的內容，如果我將 PC01 與 5 年或 10 年掉期利率作圖，它們大多會遵循相同的模式。但是，這是我無法確認的。（提供文章連結）
所以我的問題是我如何證明使用 2y、5y、10y 和 30y 是合理的風險分桶而不是其他替代桶？
不幸的是，由於我在辦公室工作，因此無法粘貼我生成的任何數字/圖表。
引用的文章 - https://www.garp.org/#!/risk-intelligence/all/all/a1Z1W000003rQUYUA2
https://www.clarusft.com/principal-component-analysis-of-the-swap-curve-an-introduction/
還有一個問題 - 如果有人閱讀 GARP 文章，那麼圖 2 是如何實際生成的？有任何想法嗎？
為了證明使用期限 2Y、5Y、10Y、30Y 進行風險劃分的合理性，您最多可以分析前四個主成分，並使用因子得分檢查哪些變數更好地概括了每個軸上顯示的資訊。
例如，如果前四個 pc 包含 90% 的可用資訊（假設第 1 台：40%，第 2 台：30%，第 3 台：15% 和第 4 台：5%）並且如果 2Y/5Y/10Y /30Y 互換利率分別佔每個主成分的大部分變異數，那麼這些變數的知識可以很好地掌握互換利率曲線中包含的全部資訊。
您還可以進行分群（例如 4 個分群）並檢查哪個變數定義其類最多。
然而，IMO 使用期限（2y、5y、10y、30y）進行風險分桶僅僅是因為它們的交易量最大。
所以我的問題是我如何證明使用 2y、5y、10y 和 30y 是合理的風險分桶而不是其他替代桶？
好的，只是提出第二個觀點，但為什麼你必須使用 PCA 來做到這一點？
你基本上是想證明給定任何基礎掉期投資組合 $ P $ 您可以在投資組合中找到一組交易/風險敞口 $ Q $ 使得 PnL 的 $ P + Q $ 在某些指標上最小化，即最終 PnL 或每日 PnL 變化的規範。
然後您要問的問題是您是否將自己限制為僅進行交換 $ Q $ 從 2Y、5Y、10Y、30Y 桶中，這是否有效，並且這比其他一些桶組合更有效。
這似乎是一項計算密集型統計分析或機器學習任務。生成大量隨機投資組合 $ P_i $ , 計算對沖 $ Q_i $ 有桶限制 $ Q_i $ 看看你得到了什麼。請注意，我建議這樣做，因為您可能還可以在這種情況下考慮凸性/交叉伽馬，這可能是應計 PnL 方面的一個問題。
或者（對於線性分析），您可以使用共變異數矩陣並假設利率的多變數高斯分佈，並可能在紙上提出數學證明。我明天可能會嘗試並重新發布。
多變數法線下的建模
如果您假設市場走勢是多元正態分佈的，均值為零和共變異數估計量如上所述， $ \mathbf{\Delta r} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma}) $ .
與風險敞口組合相關的風險度量， $ P $ , 是變異數-共變異數 VaR 標準差： $$ c = \mathbf{P^T \Sigma P} ;, \quad \text{where VaR-99pc is} \quad c_{99} = \Phi^{-1}(0.99)c $$ 為了 $ \Phi(x) $ 標準正態累積分佈函式。
假設您想用另一個風險敞口組合對沖或模擬該投資組合， $ \mathbf{Q} $ ，則差異的風險可以表示為： $$ c^* = \mathbf{(P^T-Q^T) \Sigma (P-Q)} $$
顯然，如果您可以“交易”所有風險敞口，那麼當 $ \mathbf{P=Q} $ . 但是，在您的情況下，您正在限制 $ \mathbf{Q} $ 所以它的許多元素都是零，只允許那些對應於 2y、5y、10y 和 30y 桶的元素，即 $ \mathbf{Q} = [0,..,0,q_{2y},0,…,0,q_{5y},0,..] $
你尋求價值觀 $ q_{2y}, q_{5y}, .. $ 這樣 $ c^* $ （剩餘風險）是最小的。因為這是一個二次形式，所以有一個唯一的解決方案。我將保存矩陣演算並簡單說明： $$ \mathbf{\hat{Q}} = \mathbf{\hat{\hat{\Sigma}}^{-1}\hat{\Sigma}P} $$ 在哪裡 $ \mathbf{\hat{Q}} $ 是非零元素 $ \mathbf{Q} $ , $ \mathbf{\hat{\Sigma}} $ 是的行 $ \mathbf{\Sigma} $ 對應於非零元素 $ \mathbf{Q} $ ， 和 $ \mathbf{\hat{\hat{\Sigma}}} $ 是的行和列 $ \mathbf{\Sigma} $ 對應於非零元素 $ \mathbf{Q} $ .
所以現在根據你的共變異數矩陣你有分析對沖量， $ q_{2y}, q_{5y},.. $ 這將最小化給定投資組合的 VaR $ \mathbf{P} $ .
這有什麼用
- 首先，您現在有了評估對沖質量的方法。 $ c^* $ 是最小的剩餘 VaR：在已知的投資組合中，您對它的規模感到滿意嗎？ $ \mathbf{P} $ ?
2）您可以選擇不同的套期工具組合，重新計算剩餘VaR。也許它更好。顯然，您包含的工具越多，剩餘 VaR 就越小。
如果您一般對 2y、5y、10y、30y 套期保值的質量感興趣，那麼您想檢查一下 $ E[c^*] $ ，其中期望是相對於所有可能的投資組合的機率空間來衡量的。這很難衡量，因為您需要定義投資組合的機率空間，這很重要；一個平衡的投資組合（抵消）比讓每個桶都具有相同方向的大風險敞口更有可能。但是，如果您假設均勻分佈，您可能仍然可以得出結果，可能是分析結果。
您可以擴展 3) 以確定在給定初始假設的情況下，對於未知投資組合的一般情況，允許的對沖工具的最佳組合是什麼。