非平穩數據的主成分分析
我讀到，由於股票價格是非平穩的，因此採用它們的共變異數是沒有意義的。因此，我採用股票的對數回報，計算共變異數矩陣，採用解釋最大變異數的前幾個特徵向量，而不是預測回報，我將對數價格預測在這些向量上。這種方法有什麼問題嗎？下面的python程式碼：
logprices = numpy.log(價格)
logreturns = numpy.diff（logprices，軸=0）
cov = EmpiricalCovariance().fit(logreturns).covariance_
特徵值，特徵向量 = numpy.linalg.eigh(cov)
分量 = 特徵向量
$$ :, :5 $$# 前 5 個自己的向量 來源 = numpy.dot（logprices，組件）
您可能知道它們是平穩的兩個定義（例如，請參閱不規則觀測系列：預測和模型建構；這本書可能包含您對時間序列建模所需的所有內容，而且它現在是新的）：
- 強平穩意味著每次您進行觀察（對您而言，觀察是股票數量維度的回報向量），它都是從相同的分佈中得出的；
- 弱平穩意味著每次觀察時，它都是從具有相同期望（即均值）和變異數（即這裡的共變異數矩陣）的分佈中得出的。
如果您相信混合您的觀察以獲得共變異數矩陣並製作他的 PCA，您需要什麼？
- 第一個答案是你需要你的觀察是弱平穩的，甚至能夠談論他們的共變異數矩陣，不是嗎？
- 但是你可以放鬆一下，說你只需要特徵向量和特徵值就可以保持強平穩。您將需要股票相對於這些組件的beta是“穩定的”，比如說恆定。
第二個選項是另一個模型，它實際上是一個因子模型。它說明了回報 $ R_k $ 的 $ k $ 股票等於
$$ R_k = \beta_k F_k + \epsilon_k, $$ 在哪裡 $ \epsilon_k $ 不再是靜止的…您肯定需要它的變異數遠低於 $ \beta_k F_k $ 能夠辨識的因素。
與統計學中的往常一樣，一切都是模型選擇的問題。您需要了解您的選擇，使用與它們兼容的估計器（例如，想像一下您的隨機向量 $ \epsilon_k $ 以某種方式“同步”驅動 $ R_k $ 在幾個月內趨向於高度負值，然後將它們切換為正值……您將需要一個臨時估算器）。在該過程結束時，您需要檢查您獲得的所有參數是否與您的初始假設兼容。