根在單位圓外的證明保證了時間序列的平穩性
對於 AR(p) 過程
$$ \begin{align} y_t &= \mu + \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \epsilon_t \[4ex] &y_t (1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p) =\mu + \epsilon_t \end{align} $$
和 $ Ly_t=y_{t-1} $
括號中表達式的根，即
$$ 1 - \phi_1 z - \phi_2 z^2 - \cdots - \phi_p z^p=0 $$
確定時間序列的平穩性質：如果模數是平穩的 $ \vert z \vert >0, $ 或幾何上，“圈外”。
對於 MA 過程，可以找到類似的論點，這並不奇怪，因為所有 AR 過程都可以表示為 MA 過程，反之亦然。
但為什麼？
提供一個例子：
我相信驗證特徵方程的根如何與時間序列過程的共變異數平穩性相關的最佳方法是通過 AR(1) 過程形式的範例。在模糊的意義上，使用滯後運算元來獲得特徵方程，提供了一種自回歸過程的變換，可以簡化平穩性的檢查（只需檢查特徵根是否在單位圓之外）。這使得在處理大型 AR(p) 過程時更容易檢查平穩性 $ p $ -價值觀。
當一階矩和二階矩存在且時不變時，過程的共變異數平穩性的定義得到滿足。讓我們考慮以下形式的 AR(1) 過程：
$$ y_t = \phi y_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \sim WN(\mu,\sigma^2), $$
在哪裡 $ \varepsilon_t $ 是具有恆定均值和變異數的高斯分佈白雜訊過程（高斯性是一個任意假設，但它通常用於白雜訊過程）。使用滯後運算元 ( $ L $ )，我們可以將過程重新定義為：
$$ y_t-\phi y_{t-1}=\varepsilon_t \quad \Rightarrow (1-\phi L)y_t = \varepsilon_t. $$
一般來說，如果特徵方程的根 ( $ 1-\phi_1 z - \cdots-\phi_p z^p=0 $ ) 具有大於 1 的值， $ |z|>1 $ ，因此位於單位圓之外（請參閱此連結）。與我們的範例相關，我們可以通過求解 $ z $ 在特徵方程（ $ 1-\phi z=0 $ ):
$$ |z|=\bigg|\frac{1}{\phi}\bigg| >1 \qquad \iff \qquad |\phi|<1 $$
因此確保 AR(1) 過程中的平穩性等同於保持 $ |\phi| < 1 $ 或者 $ -1<\phi <1 $ . 我們可以通過計算 AR(1) 過程的矩並觀察參數限制以確保弱平穩性來驗證這是否正確。
計算平均值：
$$ \begin{align*} y_t &= \phi y_{t-1} + \varepsilon_t\ &= \phi (\phi y_{t-2} + \varepsilon_{t-1}) + \varepsilon_t\ &= \phi^2 y_{t-2} + \phi \varepsilon_{t-1} + \varepsilon_{t}\ &: : \vdots\ &= \sum_{i=0}^{\infty} \phi^{i} \varepsilon_{t-i} \end{align*} $$
$$ \mathbb{E}\left[y_t\right]= \sum_{i=0}^{\infty} \phi^{i} \mathbb{E}\left[\varepsilon_{t-i}\right] = \sum_{i=0}^{\infty} \phi^{i} \mu = \frac{\mu}{1 - \phi}, \qquad \phi \neq 1 $$
暗示著 $ \phi \neq 1 $ 為了定義第一個時刻。
計算變異數：
$$ \begin{align} \mathbb{V}ar(y_t)&= \phi^2 \mathbb{V}ar(y_{t-1}) + \sigma^2 \ &= \phi^2 \left(\phi^2 \mathbb{V}ar(y_{t-2}) + \sigma^2\right) + \sigma^2\ &= \phi^4 \mathbb{V}ar(y_{t-2}) + \phi^2 \sigma^2 + \sigma^2\ & : : \vdots \ &= \sum_{i=0}^{\infty} \phi^{2i} \sigma^2\ &= \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}, \qquad |\phi^2|<1. \end{align} $$
這進一步意味著 $ |\phi|<1 $ 並最終 $ |1/z|<1 \iff |z|>1 $ 為了定義變異數。
自共變異數：
計算每個的自共變異數 $ k\geq 0 $ 我們可以觀察到一個模式：
$$ \begin{align*} \gamma(1) &= \mathbb{C}ov\left[y_t, y_{t-1}\right] = \mathbb{Cov}\left[(\mu + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t), y_{t-1}\right] = \phi \mathbb{C}ov\left[y_{t-1}, y_{t-1}\right] = \phi\mathbb{V}ar(y_t)\ \gamma(2) &= \mathbb{Cov}\left[(\mu + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t), y_{t-2}\right] = \phi \mathbb{Cov}\left[y_{t-1}, y_{t-2}\right] = \phi \gamma(1) = \phi^2 \mathbb{V}ar(y_t)\ & : : \vdots\ \gamma(k) &= \phi^k \gamma(0) = \phi^k \mathbb{V}ar(y_t) \end{align*} $$ 我使用的事實是白雜訊過程獨立於過去的滯後 $ y_t $ . 因此，自共變異數需要滿足限制變異數的相同條件才能存在。
總之，我們觀察到 $ |\phi|<1 $ 因此 $ |z|>1 $ 為了使矩存在並最終滿足共變異數平穩性 $ y_t $ .