證明單位根過程是差分平穩的

考慮$$ y_t =a_1 y_{t-1}+a_2 y_{t-2} +…+a_p y_{t-p} +\varepsilon_t $$

特徵多項式將是：$$ (1-a_1L -a_2L^2 -…-a_pL^p) $$

假設有一個單位根，說 $ L=1 $ 是特徵多項式的根。假設這是重數 1 的根，並且所有其他根的絕對值都大於 1。我知道這個概念 $ \Delta y_t $ 是弱靜止的，但我還沒有看到證明。我正在尋找證據。

分解後很容易看到。

在您的設置中，只有一個單位根，因此特徵多項式可以分解為：

$$ \begin{align} y_t &= a_1 y_{t-1}+a_2 y_{t-2} +…+a_p y_{t-p} +\varepsilon_t \ (1-a_1L -a_2L^2 -…-a_pL^p)y_t &= \varepsilon_t \ (1-L)\phi_1(L)y_t &= \varepsilon_t \ \phi_1(L) \Delta y_t &= \varepsilon_t \end{align} $$

這裡， $ \phi_1(L) $ 是一個多項式 $ p-1 $ 正如您在設置中提到的那樣，它將具有單位圓之外的所有根，使得 $ \Delta y_t $ 靜止的。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/50421