白雜訊與隨機遊走的關係

我想問5個關於這些過程之間關係的問題。

1）白雜訊也可以是隨機遊走嗎？

2）隨機遊走也可以是白雜訊嗎？

3）白雜訊可以是靜止的嗎？

4）隨機遊走可以是靜止的嗎？

5）平穩過程是否具有自相關性？

先感謝您。

我會假設白雜訊是一個過程 $ (\varepsilon_t) $ 均值為零，無自相關且變異數恆定 $ \sigma^2 > 0 $ 而隨機遊走是一個過程 $ (x_t) $ 被定義為

$$ x_{t+1} = x_t + \varepsilon_{t+1} $$ 在哪裡 $ \varepsilon $ 是白雜訊。

1. 沒有，因為 $ Var(x_{t+1}) = Var(x_t) + Var(\varepsilon_{t+1}) $ 顯著增加，而白雜訊的變異數是恆定的。

2. 與上述不同的原因。

3. 根據定義，它在 2 階之前是平穩的。強白雜訊（即 iid 序列）是強平穩的。

4）不，再次因為 $ Var(x_{t+1}) > Var(x_t) $ .

5. 是的，最簡單的例子是 AR(1) 過程

$$ x_{t+1} = c + \varphi x_t + \varepsilon_{t+1} $$ 它具有自相關性 $ \rho(j) = \varphi^j $ 如果它是靜止的 $ |\varphi| < 1 $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/19454