顯示[Xr,Xs]=[Xr+h,X小號+小時]這[Xr,Xs]=這[Xr+H,Xs+H]text{Cov}[X_r,X_s]=text{Cov}[X{r+h},X{s+h}]為了X噸=a+b從噸+c從t-2.X噸=一個+b從噸+C從…
**問題：**讓 $ {Zt} $ 是一系列獨立的正態隨機變數，每個變數都有均值 $ 0 $ 和變異數 $ \sigma^2 $ ， 然後讓 $ a $ , $ b $ ， 和 $ c $ 成為常數。是 $ X_t=a+bZ_t+cZ_{t-2} $ （弱）平穩過程？
我想通過兩種方式做到這一點。第一個是只計算自共變異數函式 $ \gamma_X(h) $ 和平均函式 $ \mu_X(t) $ 並表明兩者都與時間無關。另一種方法是表明 $ \gamma_X(r,s)=\gamma_X(r+h,s+h). $
方法1： 我們從那時起 $ \mu_Z(t)=0 $ 我們有
- $ E[X_t]=E[a+bZ_t+cZ_{t-2}]=a+bE[Z_t]+cE[Z_{t-2}] = a+b\mu_Z(t)+c\mu_Z(t) = a. $
- 對於 ACF $$ \begin{align} \gamma_{X}(h)&=\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]=E[X_tX_{t+h}]=E[(a+bZ_t+cZ_{t-2})(a+bZ_{t+h}+cZ_{t+h-2})]\ &= a^2+abE[Z_{t+h}] + acE[Z_{t+h-2}]+abE[Z_t]+b^2E[Z_tZ_{t+h}] + bcE[Z_tZ_{t+h-2}]\ &+ acE[Z_{t-2}]+ bcE[Z_{t-2}Z_{t+h}] + c^2E[Z_{t-2}Z_{t+h-2}] = a^2. \end{align} $$
所以由於兩者 $ \mu_X(t) $ 和 $ \gamma_X(h) $ 只是一個常數，它獨立於 $ t $ 因此 $ X_t $ is 是弱平穩的。
**問：**由於獨立 $ Z_t $ 可以得出這樣的結論嗎 $ \gamma_X(h)=a^2 $ 還是我需要設置 $ h=0,1,2 $ 併計算 3 個案例的 ACF？
**方法2：**在這種方法中，我真的不明白該怎麼做。這是我的開始。
$$ \begin{align} \gamma_X(r,s)&=E[(X_r-\mu_X(t))(X_s-\mu_X(t))]=E[X_rX_s]-aE[X_r]-aE[X_s]+a^2\ &= E[X_rX_s]-a^2-a^2+a^2 = E[X_rX_s]-a^2… \end{align} $$
但現在我不明白怎麼來 $ \gamma_X(r+h,s+h) $ 在 RHS 中。任何幫助表示讚賞。
在方法 1 中，您沒有使用正確的共變異數定義。對於兩個隨機變數 $ X $ 和 $ Y $ 我們有 $$ Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]. $$
此外，我們可以使用共變異數在兩個參數中都是線性的（這是共變異數的雙線性）。所以
$$ \begin{align} \gamma_X(h) &= Cov(X_{t+h}, X_t) = Cov(a+ bZ_{t + h} + cZ_{t + h -2}, a+ bZ_{t} + cZ_{t -2}) \[3mm] &=Cov(a, a) + Cov(a, bZ_t) + Cov(a, cZ_{t-2}) \ & \quad+ Cov(bZ_{t+h}, a) + Cov(bZ_{t+h}, b Z_t) + Cov(bZ_{t+h}, cZ_{t-2}) \ & \quad+ Cov(cZ_{t+h - 2}, a) + Cov(cZ_{t+h - 2}, b Z_t) + Cov(cZ_{t+h - 2}, cZ_{t-2}) \[3mm] &= 0 + 0 + 0 + 0 + b^2\sigma^2 \cdot 1_{{h = 0}} + bc\sigma^2 \cdot 1_{{h = -2}} + 0 + bc\sigma^2 \cdot 1_{{h = 2}} + c^2\sigma^2 \cdot 1_{{h = 0}} \[3mm] & = \begin{cases} b^2\sigma^2 + c^2\sigma^2, & h = 0, \ bc\sigma^2, & h \in {-2, 2}, \ 0, & \text{otherwise}, \end{cases}. \end{align} $$
在最後一步中，我們將其用於 $ s, t $ 我們有 $$ Cov(Z_s, Z_t) = \begin{cases} 0, & s \neq t, \ \sigma^2, & s = t \end{cases}. $$