退貨不平滑
以下問題出現在私募股權的背景下，通常報告“平滑”回報（將其視為移動平均線）。您可以想像，與“未平滑”收益的波動性相比，“平滑”收益的波動性要低得多。對於風險計算，我們對“未平滑”回報的波動性感興趣。
在數學上，假設我觀察到一個過程 $ \bar{r}t $ 這是過程的移動平均值 $ r_t $ ， IE， $ \bar{r}t = \sum{k=0}^p w_k r{t-k} $ . 我也知道 $ r_t = \alpha + \beta r_{I, t} + \epsilon_t $ ， 在哪裡 $ r_{I, t} $ 是公共指數的回報和 $ \epsilon_t = N(0, \sigma^2) $ . 我想估計“未平滑”的回報 $ r_t, t = 0, \ldots, T $ 從數據來看： $ \bar{r}t, r{I,t}, t=0, 1, \ldots, T $ .
有人可以建議我應該如何進行這個估計嗎？如果有類似問題的參考，那也應該沒問題。謝謝。
感謝@Aksakal 建議卡爾曼濾波器。這裡我提供更多細節。我們將其視為狀態空間模型：
$$ \begin{split} z_t &= A_t z_{t-1} + B_t u_t + \epsilon_t, \ y_t &= C_t z_t + D_t u_t + \delta_t, \ \epsilon_t &\sim \mathcal{N}(0, Q_t),\ \delta_t \sim \mathcal{N}(0, R_t), \end{split} $$ 在哪裡 $ z_t $ 是潛變數， $ y_t $ 是觀察， $ u_t $ 是一個可選的輸入或控制信號， $ \epsilon_t $ 是系統雜訊和 $ \delta_t $ 是觀察雜訊。 將我們的問題映射到狀態空間形式，我們得到
$$ z_t
\begin{bmatrix} r_t\ r_{t-1} \ \vdots \ r_{t-p} \end{bmatrix}_{(p+1)\times 1}, A_t
\begin{bmatrix} 0, 0, \ldots, 0 \ 1, 0, \ldots, 0 \ \vdots \ldots \vdots \ 0, \ldots, 1, 0 \end{bmatrix}_{(p+1)\times(p+1)}, B_t
\begin{bmatrix} \alpha,\ \beta \ 0,\ 0 \ \vdots\ \vdots \ 0,\ 0 \end{bmatrix}, u_t
\begin{bmatrix} 1\ r_{I, t} \end{bmatrix},
Q_t\begin{bmatrix} \sigma^2\quad &\mathbf 0^\top_{1\times p} \ \mathbf{0}{p \times 1}\ &\mathbf{0}{p\times p} \end{bmatrix} $$ $$ y_t
\bar{r}_t,\quad \ C_t
\begin{bmatrix} w_0\ w_1 \ldots w_p \end{bmatrix},
D_t\mathbf{0}_{1\times 2},
R_t\mathbf{0}{1\times 1}. $$ 我們還假設 $ y_t \sim N(0, \sigma_0^2) $ ， 在哪裡 $ \sigma_0^2 $ 足夠大，以至於它將是一個彌散的先驗。我們的模型有參數 $ \theta = (B_t, C_t, \sigma^2, \sigma_0^2) $ . 我們主要感興趣的是 $ p(z_t|y{0\colon t}, u_{0\colon t}, \theta) $ .
你有沒有嘗試解決 $ w_k $ ?
$$ \bar{r}t = \sum{k=0}^p w_k r_{t-k} $$ $$ \bar R = W R $$ 因為你可能有 $ t>>k $ , 你可以解決 $ W $ 使用 OLS
$$ \bar R = W R +\varepsilon $$
- 更新
您可以嘗試應用卡爾曼濾波器。在這裡，您的狀態演變是
$$ r_t=\mu+\varepsilon_t $$. 你介紹了新的載體 $ x_t=(r_t, r_{t-1}, \dots, r_{t-p+1}) $ 和 $ \mu_x=(\mu,\mu,\dots,\mu) $ 將其重寫為： $$ x_t = \mu_x+x_{t-1}+e_t $$ 假設收益是獨立的並且變異數是恆定的並且權重加起來為 1，即 $ \varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma) $ 你可以看到 $ \mu_{\bar r}=\mu_r $ 和 $ \sigma_{\bar r}^2=\sigma_r^2\sum_{k=0}^{p-1}w_k^2 $ . 因此， $ e_t $ 是具有對角共變異數矩陣的多元正態 $ diag(\Sigma)=\frac{1}{\sum_{k=0}^{p-1}w_k^2}(\sigma_{\bar r}^2,\sigma_{\bar r}^2,\dots,\sigma_{\bar r}^2) $ .
接下來，您的測量方程是
$$ \bar x_t=x_t \cdot(w_0,w_1,\dots,w_{p-1})’ $$ 這應該很容易使用卡爾曼濾波器包進行估計。