當一個協整的時間序列對打破了束縛
我有兩次系列，說 $ T_i $ 和 $ S_i $ 在相當大的時間視窗內，我計算了它們的協整（使用 python 的 OLS 和 Adfuller）。說測試已經通過，信心十足。
我剛剛獲得了兩個全新的價值觀， $ T_{new} $ 和 $ S_{new} $ ，並且我想衡量他們必須相距多遠才能確定他們的協整現在“被破壞”（使用醉漢和他的狗的比喻，我想確定狗的皮帶是否被撕裂）。
直覺地說，我使用回歸的資訊，檢查新的殘差是否超出範圍。任何人都有更好的掌握，甚至可能有一些python程式碼？
謝謝
PS重要：顯而易見的答案是重新計算協整，但這不是一個選擇：計算成本太高。
您估計了兩者之間的協整關係 $ T_i, S_i $ .
$$ T_i=\hat{\beta_1}+\hat{\beta_2} S_i + \hat{u_i} $$
對於每個新的觀察 $ (T_{new},S_{new}) $ ，替換現有方程並找到殘差 $ \hat{u}{{new}}=T{new}-\hat{\beta_1}+\hat{\beta_2} S_{new} $ . 標準化這個值
$$ \frac{\hat{u}{{new}}-\bar{\hat{u}}}{\sigma\hat{u}} \sim \text{for instance a }t_k \text{ (t-Dist with k degrees of freedom)} $$
由於殘差是均值恢復的，因此在很長一段時間內超過了該區域 $ (-t_{(k,a)},t_{(k,a)}) $ , 將表明兩個系列之間的協整關係可能中斷。 $ (t_{(k,a)} $ 是對應於顯著性水平的 t 分佈的臨界值 $ \alpha $ ： 例如 $ t_{(k,a)}=3 $ )
表示，區域 $ (-t_{(k,a)},t_{(k,a)}) $ 和 $ \mathcal{D} $ .
協整在以下位置被破壞：
$$ \tau =inf{t:\hat{u}_{new,t-k} \not \in \mathcal{D}, \forall k=1,2,..m} $$
$ m $ 仍由研究人員決定（很大程度上取決於數據，是一個經驗問題）