為什麼是從噸從噸Z_t不相關Xt-1X噸−1X_{t-1}在X噸=θXt-1+從噸X噸=θX噸−1+從噸X_t=theta X_{t-1}+Z_t?
在下面的問題的解決方案中，助教通過計算來解決它 $ \mathbb{E}[X_t^2] $ 最後還必須計算 $ \mathbb{E}[X_{t-1}Z_t] $ 擴大廣場後。為此，他指出“ $ \mathbb{E}[X_{t-1}Z_t]=0 $ 自從 $ X_{t-1} $ 獨立於 $ Z_t $ 和 $ X_{t-1} $ 與 $ Z_t $ ”。
問題：
- 為什麼是 $ X_{t-1} $ 獨立於 $ Z_t $ ? 我沒有看到我們假設時間序列是因果關係。
- 為什麼是 $ X_{t-1} $ 不相關 $ Z_t $ ?
問題：
讓一個時間序列模型 $ X:=(X_t, t\in\mathbb{Z}) $ 由
$$ X_t=\phi X_{t-1}+Z_t, \quad \text{where} \quad Z_t\sim \text{WN}(0,\sigma^2)\quad \text{and} \quad |\phi|\neq 1. $$
假設滿足該模型的隨機過程是平穩的。計算變異數 $ X. $
**注意：**是的，我知道一個人可以簡單地計算 $ \text{Var}[X_t] $ 直接在一行中，但我試圖了解講師步驟背後的動機。
$ E(X_{t-1}Z_t) = 0 $ 在因果情況下 $ |\phi | < 1 $ ，但不是在非因果情況下 $ |\phi | >1 $ .
因果案例 $ (|\phi| < 1) $
在這種情況下，AR(1) 方程的唯一平穩解由下式給出$$ X_t = \sum_{j=1}^\infty \phi^j Z_{t-j} $$ 因此，$$ E(X_{t-1} Z_t) = E \left( Z_t \sum_{j=1}^\infty \phi^j Z_{t-1-j} \right) = \sum_{j=1}^\infty \phi^j E (Z_t Z_{t-1-j}) = 0 $$ 最後一個等式來自 $ Z_i $ 和 $ Z_j $ 不相關 $ i \neq j $ ，並且積分的所有交換都由 Fubini 定理保證。
非因果案例 $ (|\phi| > 1) $
AR(1) 方程的唯一平穩解是$$ X_t = - \sum_{j=1}^\infty \phi^{-j} Z_{t+j} $$ 這個等式可以通過向前而不是向後執行遞歸來得到。因此，
$$ E(X_{t-1}Z_t) = -\sum_{j=1}^\infty \phi^{-j} E(Z_{t-1+j} Z_t) = - \frac{\sigma_Z^2}{\phi} $$
如果您使用 AR 方程得到$$ Var(X_t) = \phi^2 Var(X_{t-1}) + Var(Z_t) + 2 \phi E(X_{t-1} Z_t) $$
使用 $ Var(X_{t-1}) = \frac{\sigma_Z^2}{\phi^2 - 1} $ 你得到 $ E(X_{t-1} Z_t) = - \frac{\sigma_Z^2}{\phi} $ .
*順便說一句：*大多數人將 ARMA 過程的研究限制在第一種情況下，原因有兩個：（i）非因果未來依賴的情況很奇怪，（ii）在非因果平穩的情況下，您可能總是會發現白雜訊過程 $ \tilde{Z}t $ 這樣 $ X_t $ 是因果解決方案 $ X_t = \phi^{-1} X{t-1} + \tilde{Z}t $ . 這可以解釋為什麼你的助教只是假設 $ E(X{t-1}Z_t) = 0 $ 總是。
**編輯：**關於時間序列方程的解決方案的評論似乎有些混亂。我發現大多數教科書都略過這個技術細節。
隨機方程的解$$ g(X_t, Z_t) = 0 $$是一對 $ (X_t, Z_t) $ 這樣 $ (Z_t){t \in \mathbb{Z}} $ 是白雜訊，對於每個 $ t \in \mathbb{Z} $ , $ X_t $ 是整個白雜訊序列的（可測量的）函式（即 $ X_t = h((\epsilon{k})_{k\in\mathbb{Z}}) $ ） 和 $ X_t $ 在某種意義上滿足隨機方程（例如幾乎肯定）。注意 $ X_t $ 可以依賴於“過去”的噪音、“未來”的噪音或整個序列的限制。解決方案 $ (X_t, Z_t) $ 據說是靜止的，如果 $ X_t $ 是一個平穩的過程。
請注意，對於 AR(1) 方程 $ X_t = \phi X_{t-1} + Z_t $ 我們可以找到唯一的固定解 $ |\phi| \neq 1 $ ; 你可以通過遞歸到過去來做到這一點，如果 $ |\phi| < 1 $ 或者通過遞歸到未來（時間反轉）如果 $ |\phi| >1 $ . 有關詳細資訊，請參見 Brockwell 和 Davis 的範例 3.1.2 和定理 3.1.1-3.1.3。
在這種情況下 $ |\phi| > 1 $ ，我們也可以修復一個隨機過程 $ (X_t){t \in \mathbb{N}} $ 這樣 $ X_0 = x $ 並且對於 $ t \geq 1 $ , $ X_t = X_0 + \sum{j=1}^t Z_j $ . 雖然這確實是 AR(1) 方程的解，但它顯然不是靜止的。因此，我們可以刪除這種情況，因為 OP 要求我們在以下情況下考慮 AR(1) 方程的解 $ X_t $ 是靜止的。