為什麼寬客認為風險中性指標不應該用於財務預測？
在關於 $ \mathbb{P} $ 對比 $ \mathbb{Q} $ 辯論（見1、2、3或4 ），大多數答案得出的結論是，基於歷史的預測比風險中性模型更適合財務預測。
然而，這個結論似乎是基於感性的信念。事實上，比較歷史和風險中性預測的實證分析傾向於得出結論，風險中性模型比歷史模型表現更好。例如，參見這些最近的論文：1、2或這些綜合調查：1和2。
雖然風險中性預測確實存在理論缺陷，但合理的評估需要：（i）評估這些缺陷如何實際影響未來的預測，以及（ii）將風險中性預測中觀察到的缺陷與歷史模型的偏差進行比較。
然而，由於大多數人似乎已經有了一個非常強烈的觀點，這種預處理可能會降低概念上應該是討論的核心（即：進行實證分析並將預測模型與不可知論的觀點進行比較）
那麼，為什麼我們對風險中性預測採取這種先入為主的觀點呢？
還有一個更深層次的問題。頻率分佈不是機率分佈，因為它們被設計為極小極大分佈而不是實際分佈。這忽略了所有其他問題，也忽略了風險中性與任何其他風險規避措施。
更深層次的問題是這些模型假定參數是已知的。如果您有一個財富模型，例如 $ w_{t+1}=Rw_t+\epsilon_{t+1} $ ， 在哪裡 $ \epsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2_t) $ , 那麼如果 $ R $ 和 $ \sigma^2_t $ 已知，然後均值變異數結果如下。但是，如果參數不知道，那麼就永遠無法知道它們。
看：
懷特，JS（1958 年）。爆炸情況下序列相關係數的極限分佈。數理統計年鑑，29（4）：1188-1197
當結合 Mann 和 Wald 的證明時，這個令人震驚的證明
Mann, H. 和 Wald, A. (1943)。關於線性隨機差分方程的統計處理。計量經濟學，11：173–200。
暗示如果均值變異數模型為真，則無法使用它們的公理建構解決方案。
但是，對於您提出的問題的解決方案，請參閱
哈里斯，DE（2017）回報的分佈。數學金融雜誌, 7, 769-804,
從而得出收益的分佈。您可以將這些用作貝氏概似函式並得出一致的預測分佈。
貝氏預測分佈為：
$$ \Pr(\tilde{x}=k|\mathbf{X})=\int_{\theta\in\Theta}\Pr(\tilde{x}=k|\theta)\Pr(\theta|\mathbf{X})\mathrm{d}\theta,\forall{k}\in\chi, $$在哪裡 $ \chi $ 是樣本空間， $ \Theta $ 是參數空間， $ \theta $ 是參數或參數向量 $ \Theta $ , $ \mathbf{X} $ 是觀察到的樣本，並且 $ \tilde{x} $ 是一些預測值。 請注意 $ \Pr(\tilde{x}|\mathbf{X}) $ 不依賴於值 $ \theta $ 因為關於其真實價值的任何不確定性都已被邊緣化，因此預測僅取決於您觀察到的資訊。
預測分佈 $ \tilde{x} $ 是連貫的，因此博彩公司或做市商根據資訊提供價格或賠率 $ \mathbf{X} $ 不能被一個聰明的演員或一組演員玩弄，也不能肯定地輸掉。對於頻率論解決方案而言，這絕不是正確的。如果你足夠狡猾，你可以根據頻率統計數據來操縱遊戲。
頻率論模型假設參數是已知的，而貝氏模型的結果是它們對於進行預測並不重要。這是一個強大的結果。前者脆弱，後者堅固。
至於為什麼我們採用這些強烈的觀點，那是因為我們是人。即使是不為華爾街工作的經濟學家也有既得利益。當你的薪水與你的成果掛鉤時，成為一名科學家是很有挑戰性的。
在他們的“交易對手信用風險、抵押品和資金”一書中，D. Brigo、M. Morini 和 A. Pallavicini 以物理學博士畢業生和經驗豐富的量化金融從業者之間的對話開始。
P 與 Q 的話題在對話中以一種新來者可以理解的方式呈現。我當然會推薦你看看！
這個對話也可以在arXiv上找到。
我還從該對話中添加了幾個引號：
.. *“ **Q：*好的。我們在 P 下進行模擬，因為我們想要真實世界中投資組合的風險統計，在物理機率測量下，而不是在所謂的定價測量 Q 下”..
.. ”問： 這個 Q 與 P 有什麼關係？$$ still puzzled $$ 答： 這兩個指標通過數學關係相關聯，該數學關係取決於風險規避或風險的市場價格。在最簡單的模型中，實際預期收益率由無風險利率加上風險的市場價格乘以波動率給出。事實上，資產的“預期”回報取決於所使用的機率測度。例如，在 P 下，資產的平均回報率很難估計，而在 Q 下，人們知道回報率將是無風險利率，因為對實際回報率的依賴可以通過以下方式對沖掉複製技術。 $$ starts looking tired $$"