曲線擬合
如何參數化債券收益率曲線？
假設我有一個債券收益率曲線（假設半年復利），期限為 1M、3M…1Y、2Y…10Y、15Y…30Y（x 軸是到期/期限）。
我應該如何參數化這條收益率曲線？有什麼建議嗎？是否有任何已知的收益率公式作為成熟度（或任何近似值）的函式？
我對這條收益率曲線的性質也有一些疑問：
首先，收益率曲線（嚴格）是單調遞增的嗎？一階導數有什麼意義嗎？
其次，收益率曲線是否有漸近線，如 x -> Inf，y -> 常數？當 x=0 時，y 值是否受下限限制？
第三，關於二階導數 f’’，我們能說什麼？f’’ 有上限嗎？f’’ 應該是嚴格的非負數嗎？還是我們應該期待 f’’ 改變符號？如果 f’’ 確實改變了符號，它告訴我們什麼？
最後，曲線下面積有什麼意義嗎？（就像那些 ROC 曲線有一個有意義的 AUC）
Nelson-Siegel 及其後續模型（例如 Diebold-Li）試圖擬合您所描述的收益率曲線。開發和研究這些模型的原因回答了您的第一個附加問題。收益率曲線可以採用不同的形狀，模型試圖模擬上升、倒置、平坦和隆起的收益率曲線。
對於第二個問題，當期限接近 0 時，界限是無風險利率，通常是某種類型的政府票據（例如在美國，聯邦基金）。當成熟度接近無窮大時，該比率在仿射期限結構模型中被描述為均值回歸，並且應該接近一個常數。
對於與收益率曲線微積分有關的問題，也許您會從 NS 模型的組件開始獲得更好的答案，這些組件偶然與曲線的主要組件相匹配。由於曲線不是完全可微的連續函式（平滑可以在遠期曲線中創建套利條件），因此使用水平、斜率和曲率模型更具描述性。您應該能夠快速看到與您正在尋找的內容的相似之處。
零曲線下的積分將是連續複利時零息債券的價格。
我建議了解 Diebold-Li 模型，它將回答您正在搜尋的大部分內容。