排除截距會影響其他變數的係數嗎？
如果沒有截距執行會導致其他變數的係數發生變化，是否有任何解釋？
我說的是面板數據回歸。
xtreg y x和
xtreg y x, nocons
如果（所有）這些協變數的均值為零，則執行帶或不帶截距的（OLS）回歸不會改變其他協變數的其他係數。
為簡單起見，考慮一個協變數的情況。我們有兩個回歸，第一個有截距，第二個沒有截距。 $$ \begin{align*} &y_i = \alpha + \beta x_{i} + \varepsilon_i, \tag{1}\ &y_i = \gamma x_i + \delta_i \tag{2} \end{align*} $$ 對於第一個回歸，您將通過設置以下樣本矩條件來估計係數： $$ \begin{align*} &\frac{1}{n} \sum_i \varepsilon_i = 0,\ &\frac{1}{n} \sum_i \varepsilon_i x_i = 0 \end{align*} $$ 所以： $$ \begin{align*} &\frac{1}{n} \sum_i y_i = \hat \alpha + \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right),\ &\frac{1}{n} \sum_i y_ix_i = \hat \alpha \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right) + \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2\right) \end{align*} $$ 然後： $$ \begin{align*} &\hat \alpha = \left(\frac{1}{n} \sum_i y_i\right) - \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right),\ &\frac{1}{n} \sum_i y_i x_i = \left(\frac{1}{n} \sum_i y_i\right) \left( \frac{1}{n} \sum_i x_i\right) - \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right)^2 + \hat \beta \left(\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2\right), \end{align*} $$ 所以使用 $ \widehat{cov}(y_i, x_i) = \left(\frac{1}{n} \sum_i y_i x_i\right) - \left(\frac{1}{n} \sum_i y_i\right) \left( \frac{1}{n} \sum_i x_i\right) $ 和 $ \widehat{var}(x_i) = \left(\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2\right) - \left(\frac{1}{n} \sum_i x_i\right)^2 $ : $$ \hat \beta = \frac{\widehat{cov}(y_i, x_i)}{\widehat{var}(x_i)}. \tag{3} $$ 對於回歸 $ (2) $ 沒有截距，我們只有二階矩條件： $$ \begin{align*} &\frac{1}{n} \sum_i \delta_i x_i = 0,\ \to &\frac{1}{n} \sum_i y_i x_i = \hat \gamma \left(\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2\right) \end{align*} $$ 所以： $$ \hat \gamma = \frac{\frac{1}{n} \sum_i y_i x_i}{\frac{1}{n} \sum_i (x_i)^2} \tag{4} $$ 比較 $ (3) $ 和 $ (4) $ ，我們看到它們是相同的，如果 $ x $ 為零： $ \frac{1}{n} \sum_i x_i = 0 $ .
下圖展示。我們有 5 個數據點 $ \frac{1}{n} \sum_i x_i = 0 $ . 我們看到兩條回歸線，帶截距的黑色和不帶截距的紅色具有相同的斜率。
