需求系統中雅可比逆的經濟直覺
考慮以下具有 n 個不同產品的簡單線性需求系統（向量表示法）
要求： $ \quad\mathbf{q=B\left(a-p\right)} $
逆需求： $ \quad\mathbf{p=a-B^{-1}q} $
在哪裡 $ \mathbf{p} $ 是價格的向量，並且 $ \mathbf{q} $ 是供應量的向量。這兩個方程的雅可比行列式
$ \dfrac{\partial\mathbf{q}}{\partial\mathbf{p}}=-\mathbf{B}\quad $ 和 $ \quad\dfrac{\partial\mathbf{p}}{\partial\mathbf{q}}=-\mathbf{B}^{-1} $
告訴您價格如何對供應量的變化做出反應，反之亦然。現在，考慮這個例子：
$ \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc} \frac{4}{3} & -\frac{2}{3}\ -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} \end{array}\right]\quad $ 以便 $ \quad\mathbf{B}^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 1 & .5\ .5 & 1 \end{array}\right] $
那麼很容易看出，對於某些產品 $ i $ :
$ \dfrac{\partial q_{i}}{\partial p_{i}}\neq\left(\dfrac{\partial p_{i}}{\partial q_{i}}\right)^{-1} $
我知道這在數學上是正確的，並且通常會如此，但是就經濟直覺而言，這意味著什麼？為什麼產品的需求曲線 $ i $ 斜率不同，取決於我是否放 $ q_{i} $ 在垂直軸而不是水平軸上？
對於正在考慮的 2x2 情況，寫 $$ \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc} b_{1,1} & b_{1,2}\ b_{2,1} & b_{2,2} \end{array}\right].\quad $$
因此，元素 (1,1) 在 $ B^{-1} $ 是（誰）給的 $ \frac{b_{2,2}}{b_{1,1}b_{2,2}-b_{1,2}b_{2,1}} $ . 請注意 $$ \frac{\partial q_1(p_1,p_2)}{\partial p_1}=(\frac{\partial p_1(q_1,q_2)}{\partial q_1 })^{-1} $$ 暗示 $$ b_{1,1}=(\frac{b_{2,2}}{b_{1,1}b_{2,2}-b_{1,2}b_{2,1}})^{-1}, $$ 僅在以下情況下才會發生 $ b_{1,2}=0 $ , $ b_{2,1}=0, $ 或兩者。
為了更好地理解這個結果的直覺，考慮需求函式 $ q_1(p_1,p_2). $ 假設我們對商品 1 的需求曲線感興趣，當 $ p_2=\tilde{p_2} $ ，這是函式的圖 $ q_1(p_1,\tilde{p_2}) $ 和 $ p_1 $ 在垂直軸上和 $ q_1 $ 在水平軸上。這條需求曲線的斜率由下式給出 $ (\frac{\partial q_1(p_1,p_2)}{\partial p_1})^{-1}=-\frac{1}{b_{1,1}} $ .
現在考慮商品 1 的逆需求，它給了我們以商品 1 和商品 2 的數量為條件支付商品 1 的最大邊際意願。如果我們想繪製這條需求曲線，我們必須確定商品 2 的數量，例如 $ x_2=\tilde{x_2}. $ 假設我們希望這條需求曲線對應於我們繪製的需求曲線 $ q_1(p_1,\tilde{p_2}) $ ， 意義 $ \tilde{x_2} $ 必須是需求量 $ \tilde{p_2} $ . 但是，要找到商品 2 的需求量 $ \tilde{p_2} $ ，我們必須以商品 1 的價格為條件。同樣，要找到商品 2 在數量上的邊際支付意願 $ \tilde{x_2} $ ，我們必須以商品 1 的數量為條件。前面的兩個陳述都沒有意義，因為我們試圖繪製兩者之間的關係 $ x_1 $ 和 $ p_1 $ ，所以我們無法修復它們中的任何一個。
基本的直覺是，當我們反轉 $ B $ 為了解決逆需求，我們在編寫邊際支付意願（逆需求）函式時考慮了交叉價格效應的影響。在經濟學術語中，除非交叉價格效應為零，否則以下兩個表達式不相等：
- 商品 1 的數量對商品 1 的支付意願的邊際效應，以商品 2 的數量為條件。
- 商品 1 的價格對商品 1 的需求量的邊際效應的倒數，以商品 2 的價格為條件。