從連續時間動態規劃問題 (HJB) 導出歐拉方程
使用 Benveniste Scheinkman 定理在離散時間內求解歐拉方程非常簡單。但是對於以下標準 Ramsey 模型： $$ \max \int_{0}^{\infty}e^{-rt} u(c(t))dt $$ 受制於： $$ u(c(t))=\ln(c(t)) $$ $$ \dot{k}(t)=Ak^\theta-\delta k(t)-c(t) $$
如果我使用哈密頓量，問題很簡單，但是如果我為此編寫 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程： $$ rV(k(t))=\ln(c(t))+V’(k(t))\dot{k} $$
我不知道如何開始。如何使用相應的 HJB 方程求解歐拉方程？
正如已經評論過的，你可能指的等式是 $$ \rho V(k)= \sup_c {, u(c) + V’(k) ( f(k) -\delta k -c ) ,}. $$ 我從未見過這個稱為 HJB 方程的方程（我可能缺少基本參考）。我將其稱為“動態規劃 PDE”。
您真正要問的是解決控制問題的兩種方法之間的聯繫——變分法/最優控制與動態規劃。最優控制（Pontryagin 的最大原理）是一階擾動參數，動態規劃原理是反向歸納參數。
“歐拉方程”源於一階微擾參數。（在連續時間中，它是經典的變分方程。在離散時間中，我只聽說過它用在經濟學中，描述跨期消費平滑，但它同樣是一個擾動論點。）
在連續時間中，最優路徑的一階擾動意味著沿著整個路徑的擾動。相反，在離散時間中，擾動單個週期就足夠了——因此可以通過簡單地對貝爾曼方程進行微分來獲得歐拉方程（例如，在確保價值函式可微性的 Benveniste-Scheinkman 假設下）。
在連續時間內，我不相信答案是微不足道的。然而，最優控制和動態規劃之間存在通過特徵方法的經典聯繫。部分聯繫是，如果值函式足夠平滑，則動態規劃 PDE 的特徵方程給出 Pontryagin 的最大原理。
在您的增長範例中，RHS 的最大化器由下式給出 $ u’(c^) = V’ $ . 然後代入一個隱式的一階 ODE $$ F(k, V, V’) = \rho V - u(c^( V’)) - V’\cdot( f(k) -\delta k) + V’ \cdot c^( V’) = 0. $$ 按照啟發式的特徵方法，特徵方程之一將是 $$ \begin{align} \frac{d}{dt} (V’) &= -\lambda (F_k + F_V V’) \ &= -\lambda (- V’ f’(k) + V’ \rho), \end{align*} $$ 對於一些 $ \lambda \geq 0 $ . 自從 $ u’(c^) = V’ $ , $$ \begin{align} \frac{d}{dt} \log (u’(c^)) &= -\lambda (F_k + F_V V’) \ &= \lambda ( f’(k) - \rho), \end{align} $$ 這是一個歐拉方程。
（順便說一下，ODE $ F(k, V, V’) $ 似乎不適合猜測和驗證，即使當 $ u(c) = \log c $ .)