求 ARMA 模型的階數 (q & p )
我在 Matlab 中擬合了一個 ARMA 模型，在使用預測誤差計算預測值之前，我設置了順序 $ (p,q) $ 到某個隨機值。但是如何確定 AR (p) 和 MA 滯後 (q) 的數量？
自相關函式 (ACF) $ \rho_k=Corr(y_t,y_{t-k}) $ 表示之間的線性依賴的強度 $ k $ -滯後實現，因此代表了辨識 ARMA 和 GARCH 過程滯後階的重要工具：
$$ \rho_k:=Corr(y_t,y_{t-k})=\frac{\gamma_k}{\gamma_0},,,k\in\mathbb{Z} $$ 其中自共變異數 $ \gamma_k $ 定義為 $ \gamma_k:=Cov(y_t,y_{t-k})=E((y_t-\mu)(y_{t-k}-\mu)) $ 和 $ \gamma_0=Var(y_t) $ 和 $ \mu=E(y_t) $ . 樣本的估計樣本自相關函式 (SACF) $ \hat{y}=(y_1,…,y_T) $ 平均 $ \hat{\mu} $ 是（誰）給的： $$ \hat{\rho}k:=\dfrac{\sum{i=k+1}^T(y_i-\hat{\mu})(y_{i-k}-\hat{\mu})}{\sum_{i=1}^T (y_i-\hat{\mu})^2},,,k\in\mathbb{Z} $$ 對於弱平穩過程，自相關是對稱的 $ \rho_k=\rho_{-k} $ , $ \gamma_k=\gamma_{-k} $ . 對於正負值之間的交替序列， $ \rho_k $ 也會交替出現。 對於 AR(p)，自相關也遵循加權平均值，由 {Yule Walker equations} 描述：
$$ \gamma_k=a_1\gamma_{k-1}+a_2\gamma_{k-2}+…+a_p\gamma_{k-p},,k\in\mathbb{Z} $$ $$ \rho_k=a_1\rho_{k-1}+a_2\rho_{k-2}+…+a_p\rho_{k-p},,k\in\mathbb{Z} $$ 可以證明，AR(p) 過程在滯後階之前具有非零自相關 $ p $ , 否則衰減到 $ 0 $ 隨著增長呈指數級增長 $ k $ ，作為線性相關 $ y_t $ 超越滯後 $ p $ 為零（僅合併過去的訂單創新 $ k>p $ 保持）。Yule Walker 方程還允許估計 AR(p) 係數 $ a_i,i=1,…,p $ 從給定的樣本。然而，對於非平穩過程，方程往往變得不穩定。 對於 MA(q) 過程，可以顯示：
$$ \gamma_k=\left{\begin{array}{cl} \sigma_\epsilon^2\sum_{i=k}^qb_ib_{i-k}, &k=0,1,…,q\ 0, & k>q \end{array}\right. $$ 這樣自相關理論上會截止到 $ 0 $ 直接下單 $ q $ （沒有指數衰減）。 對於 ARMA(p,q) 過程，可以應用擴展 Yule Walker 方程來顯示 ACF 在 $ q $ 和 $ p $ 指數衰減為 $ k $ 增加。GARCH 過程順序可以通過殘差平方的 ACF 以相同的方式辨識 $ \epsilon_t^2 $ .
然而，經驗樣本自相關通常不會中斷或下降 $ 0 $ 指數級，因為它們僅是從真實樣本中估計的。重要的訂單 $ \hat{\rho}_k=0 $ 因此由信賴區間確定。SACF 服從均值為 0 的正態分佈，因此 95% 的信賴區間為 $ \hat{\rho}_k=0 $ 是（誰）給的
$$ [\pm1.96\sqrt{Var(\hat{\rho}_k})] $$和 $ Var(\hat{\rho}k)=\frac{1}{T}\left(1+2\sum{i=1}^T \hat{\rho}_i^2\right),k>T $ .