Esscher Premium：積分變換證明
我很難理解以下證明，希望有人能幫助我。
**聲明：**我想證明
$ E_\alpha(S)=\frac{d}{dr} \log M_S(r)|{r=\alpha} $ ， 在哪裡 $ M_S(r)=E(\exp(rS)) $ 是矩生成函式 $ S\sim F $ 和 $ E\alpha(S)=\int_{\mathbb{R}} s dF_\alpha(s) $ 和 $ F_\alpha(s):=\frac{1}{M_S(\alpha)}\int_{-\infty}^s e^{\alpha x} dF(x) $ .
證明 證明如下： $ E_{\alpha}(S)=\int_{\mathbb{R}} s dF_\alpha(s)=^{(*)}\frac{1}{M_S(\alpha)}\int_{\mathbb{R}}s e^{\alpha s} dF(s)=\frac{M_S’(\alpha)}{M_S(\alpha)}=\frac{d}{dr} \log(M_S(r))|_{r=\alpha} $ .
我不明白的是第二個平等 $ (*) $ . 這種轉變為什麼以及如何從 $ dF_\alpha(s) $ 到 $ dF(s) $ 會這樣嗎？
我很感激任何提示！：-） 提前致謝！
好的，我試圖想出一個解決方案。我們知道 $ \int x : dF(x) $ 是一個概括 $ \int x f(x) : dx $ ， 自從：
$$ \frac{dF(x)}{dx}=f(x) \iff dF(x)=f(x): dx $$ 為了 $ f $ 作為pdf和 $ F $ CDF。使用這個結果 $ F_{\alpha}(s) $ ，我們得到：
$$ \begin{align} \frac{dF_{\alpha}(s)}{ds}&= \frac{1}{M_{S}(\alpha)} \cdot \frac{d}{ds}\left(\int_{-\infty}^s e^{\alpha x} dF(x)\right)\ &=\frac{1}{M_{S}(\alpha)} \cdot \frac{d}{ds}\left(\int_{-\infty}^s e^{\alpha x} f(x) : dx\right)\ &=\frac{1}{M_{S}(\alpha)} \cdot e^{\alpha s} \cdot f(s),\ \end{align} $$ 我在最後一個方程中使用了 Lebesgue 積分的第一個基本定理（Lebesgue 微分定理）（如下面的評論中所述）。因此我們觀察到： $$ dF_{\alpha}(s) = \frac{1}{M_{S}(\alpha)} \cdot \left( e^{\alpha s} \cdot f(s) \cdot ds \right). $$ 現在，將其插入上述證明中指定的積分中，我們得到： $$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}} s : dF_{\alpha}(s) &= \frac{1}{M_{S}(\alpha)} \int_{\mathbb{R}} s \cdot e^{\alpha s} \cdot f(s) ds\ &= \frac{1}{M_{S}(\alpha)} \int_{\mathbb{R}} s \cdot e^{\alpha s}: dF(s) \end{align} $$ 給你第二個平等。