顯示E[(S+ξ)2]→0和[(小號+X)2]→0mathbb{E}[(S+xi)^2]rightarrow 0作為n→∞n→∞nrightarrowinfty
**編輯：**使用 Ito 的引理來展示這個很容易，這不是我想要做的。我也意識到 $ 2\mathbb{E}[S\xi]\neq 2\xi\mathbb{E}[S] $ 自從 $ \xi $ 也是一個隨機變數。儘管如此，如果是這種情況，我不知道如何計算 $ S\xi $ 反正。
給定一個布朗運動 $ W(t) $ 我想證明
$$ \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}\left[\left|\sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}\left(W\left(\frac{(j+1)T}{n}\right)-W\left(\frac{jT}{n}\right)\right) - TW(T)+\int\limits_0^TW(t)dt\right|^2\right]=0 \tag1. \end{align} $$
為簡單起見，我們將總和表示為 $ S $ 並設置 $ \xi=-TW(t)+\int_{0}^TW(t) \ dt $ ，現在我們有了 $$ \begin{align} \mathbb{E}[(S+\xi)^2]=\mathbb{E}[S^2]+2\xi\mathbb{E}[S]+\xi^2. \end{align} $$
但是我無法計算 $ \mathbb{E}[S^2] $ . 我知道 $ \mathbb{E}[S]=0 $ 自從
$$ \begin{equation} \mathbb{E}[S]=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}\mathbb{E}[W_{j+1}-W_j]=0 \end{equation} $$ 因為增量是 $ \sim\mathcal{N}(0,T/n) $ 所以上面的總和只是零的總和。所以我有點想證明
$$ \begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}[S^2]=-\xi^2. \end{equation} $$
我嘗試了以下方法：對於布朗運動，我知道 $ \mathbb{E}[S^2]=\text{Var}[S] $ 所以
$$ \begin{align} \mathbb{E}[S^2]&=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{j^2T^2}{n^2}\text{Var}[W_{j+1}-W_j]=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{j^2T^2}{n^2}\frac{T}{n}=\frac{T^3}{n^3}\sum_{j=0}^{n-1}j^2\&={\frac {{T}^{3} \left( 2,{n}^{2}-3,n+1 \right) }{6{n}^{2}}} \end{align} $$
這使 $ T^3/3 $ 什麼時候 $ n\rightarrow\infty $ . 但這不是我想要的結果。
所以你可能會問我是怎麼進入（1）的？好吧，我想證明，使用 Ito 積分的定義
$$ \int_0^TW(t)dt+\int_0^TtdW(t) = TW(T). $$
我把它改寫為
$$ \int_0^TtdW(t) = TW(T) - \int_0^TW(t)dt $$
並使用定義：如果存在隨機過程 $ I(T) $ 這樣 $ ||I_n(T)-I(T)||2=\lim\limits{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}[|I_n(T)-I(T)|^2]=0 $ 然後 $ I(T) $ 是 Ito 積分。插入 $ I_n(T) $ 和 $ I(T) $ 我到達（1）。
注意 $$ \begin{align*} \int_0^T W(t)dt \approx \sum_{j=0}^{n-1}\frac{T}{n}W\Big(\frac{jT}{n}\Big). \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} &\ \sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}\bigg(W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big)-W\Big(\frac{jT}{n}\Big)\bigg) - TW(T) + \int_0^T W(t)dt\ \approx &\ \sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}\bigg(W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big)-W\Big(\frac{jT}{n}\Big)\bigg) - TW(T) + \sum_{j=0}^{n-1}\frac{T}{n}W\Big(\frac{jT}{n}\Big)\ =&\ \sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big) - \sum_{j=0}^{n-1}\frac{(j-1)T}{n}W\Big(\frac{jT}{n}\Big) - TW(T)\ =&\ \sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big) - \sum_{j=-1}^{n-2}\frac{jT}{n}W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big) - TW(T)\ =&\ \frac{(n-1)T}{n}W(T) - TW(T)\ =&\ -\frac{T}{n} W(T). \end{align*} $$