預期值與不確定性
我見過的大多數模型都使用期望值。為什麼這是一個比不確定性和經濟主體更好的經濟模型，因此必須做出“最佳猜測”，結果“動物精神”發揮了重要作用。例如，似乎沒有人確切知道比特幣會走向何方，因此涉及到盛行的動物精神——即投機和可變價格。
人們可以區分機率隨機性（可以量化）和不確定性。美聯儲研究員的這篇文章討論了這一點：“股票市場：超越風險在於不確定性”（弗蘭克·施密德）。正如問題的標籤所暗示的那樣，這與凱恩斯和目前的后凱恩斯經濟學有關。因此，如果你看一下后凱恩斯主義的文獻，你會看到更多關於不確定性的討論。
“主流”經濟學和金融學側重於可量化的模型。因此，它們依賴於機率論，期望值非常普遍。然而，期權定價理論確實考慮了整個機率分佈，因此“不確定性”可能被認為是分佈尾部的屬性。與其將比特幣的價格描述為不確定，不如尋找一個可能適合觀察到的數據的模型（例如“理性泡沫”）。也就是說，有人可以爭辯說可以使用標準的機率框架來分析比特幣。
無論是機率方法還是更定性的后凱恩斯方法“更好”，都將是基於意見的，所以我不想追求這一點。（作為免責聲明，我屬於后凱恩斯主義陣營。）
為什麼這是一個比不確定性和經濟主體更好的經濟模型，因此必須做出“最佳猜測”，而“動物精神”的結果發揮了重要作用？
您的問題不恰當，但我會嘗試回答我認為您正在努力解決的問題。讓我們非常簡單地拋硬幣。我們將進一步簡化它，因為我們的硬幣將是“公平的”。你有兩個選擇。如果您下注1,000美元，那麼您將贏得1,000美元或輸掉您下注的 1,000 美元。我們將忽略為什麼有人會提供這個賭注。我們將假設要約對要約人具有正邊際效用。你的選擇是不賭。我們還將假設財富的線性效用。
我們將表示 $ \delta_a $ 作為下注的決定和 $ \delta_b $ 不賭的決定。你必須解決
$$ \max_{{\delta_a,\delta_b}}\tilde{w} $$受制於$$ \tilde{w}=1,000\text{ dollars, if }\delta_b, $$除此以外$$ \tilde{w}=2,000\text{ if }\delta_a\text{ and coin is “heads”} $$和$$ \tilde{w}=0\text{ if }\delta_a\text{ and coin is “tails.”} $$ 問題沒有解決辦法。這不是賭注的性質。這也不是由於效用函式的性質。甚至不是因為演員對投注和不投注無動於衷。這是因為要使效用最大化，您現在必須知道拋硬幣的結果。如果是正面，那麼你必須下注。如果是反面，則不能下注。
由於您在下注之前無法知道結果，因此您根本無法解決這裡提出的問題。現在讓我們考慮一個更“真實”的效用函式，例如 $ U(\tilde{w})=\log(\tilde{w}) $ . 它仍然無法解決，但可以解決其他問題。那是把犯錯的成本降到最低。對於拋硬幣的例子，計算解決方案的最低風險方法恰好是最小化平方損失。其他解決方案具有更大的風險。如果您想知道為什麼，那麼您應該查看https://www.stat.washington.edu/~pdhoff/courses/581/LectureNotes/admiss.pdf>或<https://en.wikipedia.org/wiki/Admissible_decision_rule。在這種情況下，預期效用是風險最小化規則。
你可以解決
$$ \max_{{\delta_a,\delta_b}}\mathbb{E}(\log(\tilde{w})), $$受上述約束。你的財富效用是凹的，因此不確定性的效用應該是凹的。 現在讓我們假設您想以明確的方式包含不確定性。要做到這一點，您不會假設硬幣是“公平的”，而是硬幣以未知的方式存在偏差。你仍然可以用期望來解決這個問題，但它現在將基於貝氏而不是頻率模型。頻率論模型缺乏不確定性，因為它們以零假設為條件。所有的影響都是偶然的。貝氏方法以數據為條件，因此沒有機會，只有不確定性。
貝氏分析的討論過於復雜，無法在此處發布。這是一種非常不同的提問方式。但是，在Keith Winstein 的 cookie 間隔中，頻率論信賴區間和貝氏可信區間有一個不錯的比較。除了你可能知道的之外，你還需要學習很多額外的數學知識。我的假設是基於您提出問題的方式，因為您似乎沒有解決這個問題，而這個問題是任何機率討論的基礎。如果您對經濟問題的貝氏分析感興趣，那麼我建議您閱讀Stata 的貝氏方法入門。
例如，似乎沒有人確切知道比特幣會走向何方，因此涉及到盛行的動物精神——即投機和可變價格。
在這個問題中，您混淆了短期行為和限制行為。期望是一個微積分概念。它討論了人們在極限情況下的行為方式，但不是在任何特定情況下。我沒有推導出比特幣的密度，但是對於沒有合併不存在或破產的股票，密度是
$$ \left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\left(\frac{\sigma}{\sigma^2+(x-\mu)^2}\right). $$ 雖然分佈沒有期望，但分佈的對數確實有期望。此外，99.99% 的質量在 $ \pm{636}\sigma. $ 這是一種非常廣泛的行為。在極限情況下，行為應該圍繞預期效用展開，在直接情況下沒有這樣的邊界條件。行為的廣泛波動與預期效用假設並不矛盾。
您應該注意，期望並不總是風險最小化的選擇。期望確實往往會被過度使用或不恰當地使用。
在許多情況下，為模型添加不確定性可能是一種實質性的改進，但這是有代價的。您不僅有價格和交易量變動的不確定性，還有參數性質的額外不確定性。
考慮有兩種類型的賭場的情況，而不是上面的公平硬幣。第一種總是進行公平的賭注。另一個人說是，但你很懷疑，因為荷官的名字是“魔術師曼德拉克”和“光滑的渦流”。如果它不是公平的硬幣，它可能接近公平或人們很容易注意到。現在您需要求解給定帶參數的密度分佈和參數分佈。
有一個現成的數學可以解決這類問題，但你很可能會回到期望的領域。