LEN-型號等效
起始位置是具有不完整資訊（道德風險）和以下屬性的委託代理模型：
- 代理實用程序： $ u(z)=-e^{(-r_az)} $
- 主要用途： $ B(z)=-e^{(-r_pz)} $
- 努力程度 $ e\in \Bbb R $
- 結果 $ x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu’(e)>0, \mu’’(e)\le0 $
- 契約： $ w(x)=a+bx $ ,
在哪裡 $ r_A $ 和 $ r_P $ 分別是代理人和委託人的絕對風險厭惡程度的 Arrow-Pratt 度量。
當代理人的努力不可見時，我正在尋找委託人向代理人提供的最佳契約。主體的效用可以寫成如下：
$$ U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) , dx $$ 我想證明以下等式成立，這意味著委託人效用的最大化可以寫為以下等式的 RHS：
$$ \max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) , dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2 $$ 在哪裡 $ f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)} $ 是正態隨機變數的密度函式 $ x\sim N(\mu(e),\sigma) $ , 有期望值 $ \mu(e) $ 和變異數 $ \sigma>0 $ .
我嘗試使用顯式形式 $ f(x|e) $ 在 LHS 中，對其進行一些操作，然後進行迭代，但無法獲得等價。
主要的一點是委託人從收益中獲得的預期效用 $ z $ 以一定程度的努力為條件 $ e $ 可以寫成
$$ \text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e). $$
換句話說，由於財富是正態分佈的，指數效用具有簡單的“均值變異數”表示。有關推導，請參見此處。
我認為校長的回報 $ z $ 等於 $ x - w(x) = (1 - b)x - a $ . 然後可以直接計算（條件）均值和變異數 $ z $ :
$$ \text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a, $$
$$ \text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2. $$
因此，委託人的預期效用可以寫為
$$ (1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2. $$