理解拉賓的財富邊際效用遞減不能解釋風險厭惡
我試圖理解拉賓的*財富邊際效用遞減不能解釋風險厭惡*。
我正在努力完全理解以下內容：
假設你有初始財富 $ W $ ，並且由於財富的邊際效用遞減，您拒絕了 50-50 輸 10/獲得 11 的賭博。那麼一定是這樣 $ U(W+11) - U(W) ≤ U(W) - U(W-10) $ . 因此，平均而言，您重視之間的每一美元 $ W $ 和 $ W+11 $ 至多 $ \frac{10}{11} $ 與您平均價值之間的每一美元一樣多 $ W $ 和 $ W-10 $ .
通過凹度，這意味著您重視美元 $ W+11 $ 最多 $ \frac{10}{11} $ 就像你看重美元一樣 $ W-10 $ .
重複這個觀察，如果你對財富水平的輸 10/贏 11 賭注有同樣的厭惡 $ W+21 $ ，那麼你看重美元 $ W+21+11 = W+32 $ 至多 $ \frac{10}{11} $ 當你看重美元 $ W+21-10 = W+11 $ ，這意味著你看重美元 $ W+32 $ 至多 $ \frac{10}{11}\times \frac{10}{11} \approx \frac{5}{6} $ 和美元一樣多 $ W-10 $ .
有人可以在上面引用的粗體斜體部分提供數學嗎？
非常感謝你
格斯
從 $ U(W+11)−U(W)\le U(W)−U(W−10) $ 我們明白了 $ \frac{U(W+11)-U(W)}{11}\le\frac{10}{11}\frac{U(W)-U(W-10)}{10} $ ，這是粗斜體部分之前的句子所說的。
現在通過凹 $ U(.) $ 我們知道 $ MU(W-10)\ge\frac{U(W)-U(W-10)}{10} $ ，還有那個 $ MU(W+11)\le\frac{U(W+11)-U(W)}{11} $ .
所以 $ MU(W+11)\le\frac{U(W+11)-U(W)}{11}\le\frac{10}{11}\frac{U(W)-U(W-10)}{10}\le\frac{10}{11}MU(W-10) $ .
所以 $ MU(W+11)\le\frac{10}{11}MU(W-10) $ ，這只是粗體斜體聲明。