一個簡單的問題：賣出看漲期權時的 delta 對沖成本
考慮一個普通的歐式看漲期權 C，標的資產為 S，執行價格為 K，到期時間為 T。假設 S 遵循幾何布朗運動，平均增長率為 μ，波動率為 σ。r 代表連續複利的無風險利率。
我賣出了一份看漲期權，並決定使用 Delta-Neutral 策略對沖風險。所以，我確保我總是有
$$ S\frac{\partial C}{\partial S} $$隨時與我一起存貨。 在 John Hull 中，提到這種策略的成本始終等於 BSM 價格，而與股票價格遵循的實際路徑無關。我試圖在數學上證明這個說法。
以下是我試圖證明的方法： delta 對沖的總成本應該是
$$ \int_0^T SN(d1) $$ $$ as \frac{\partial C}{\partial S} = N(d1) $$ （如果可能，為簡單起見，我們可以假設 r = 0） 你能指導我如何進一步或任何其他方法嗎
謝謝你。
PS（編輯）：直覺上，我知道 delta 對沖策略的成本總是等於期權的價格。為了證明這一點，讓我們假設我賣出了看漲期權。現在，我想對沖股價下跌的風險。我將遵循的策略是在每個時間點維持 Delta * Stocks，因此我在到期時的收益為零。從本質上講，這種策略的成本必須始終等於看漲期權的價格，因為只有這樣，無套利才成立。
您應該回到 Black-Scholes 方程的推導（例如，參見這個答案）。要點是您可以在極小的時間段內取消衍生品的風險 $ dt $ 通過持有一定數額 $ \Delta $ 的資產。應用此對沖策略時，在此連續限制中，您的 PnL 的變異數為零。因此，無論底層遵循的實際路徑如何，複製策略的成本始終相同。
現在假設利率是確定性的，而且波動率是已知的且恆定的，因此我們輸入價格的波動率始終是任何路徑上的已實現波動率。如果波動率未知，您的盈虧將由以下公式給出： $$ d\Pi_t - r_t\Pi_t = \frac{1}{2}S^2\partial^2_SP \left( \sigma_R^2 - \sigma_M^2\right) dt $$ 已實現變異數之間的差異 $ \sigma_R^2dt $ 和定價模型差異 $ \sigma_M^2 dt $ ，由投資組合的 Gamma 加權。
基於其他使用者的輸入，這是另一個不嚴格的證明，***為什麼 delta 對沖的成本等於期權價格。***這種方法可能對使用 John Hull 作為參考並且可能不熟悉自籌資金策略的學生有用。
**背景：**例如赫爾在期權、期貨和其他衍生品中的 19.2。
我們賣出了一個普通的歐式期權，我們想通過複製期權收益來對沖我們的頭寸。
$$ \text{Assume that at} \quad t = 0, \quad C_0, , \Delta_0, , \text{are the price & the delta of the option and } S_0 \text{to be the price of the stock} $$ 我們知道投資一個價值 $ C_0 $ 其中包括
$$ (\Delta_0 * S_0) \quad\text{stocks} + \quad (C_0 - \Delta_0 * S_0) \quad \text{money} $$ 現在，
$$ \text{At} \quad t = 1, \quad C_1, , \Delta_1, , \text{are the price & the delta of the option and } S_1 \text{to be the price of the stock} $$ 所以，我們藉$$ B_1 = (\Delta_1S_1 - \Delta_0S_1) \text{worth of money from the money market}\ $$ 之後我們的投資組合頭寸是 $$ (\Delta_1 * S_1) \quad\text{stocks} + \quad (C_0 - \Delta_0 * S_0 -(\Delta_1S_1 - \Delta_0S_1)) \quad \text{money} $$ 相似地，
$$ \text{At} \quad t = 2, \quad C_2, , \Delta_2, , \text{are the price & the delta of the option and } S_2 \text{to be the price of the stock} $$ 所以，我們藉$$ B_2 = (\Delta_2S_2 - \Delta_1S_2) \text{worth of money from the money market} $$ 之後我們的投資組合頭寸是 $$ (\Delta_2 * S_2) \quad\text{stocks} + \quad (C_0 - \Delta_0 * S_0 -(\Delta_1S_1 - \Delta_0S_1)-(\Delta_2S_2 - \Delta_1S_2) ) \quad \text{money} $$ 假設到年底 $ t= 2 $ , 期權到期並支付給我們，即期權的賣方是 $ \Delta_2*S_2 - C_2 $
在赫爾的書中，這個貨幣市場概念並沒有解釋清楚。Hull 的聲明是，建立初始投資組合的成本 + 借款 + 最終收益等於期權價格：換句話說，
$$ (\Delta_0 * S_0) \quad (\text{initial cost of the stock}) + \ (\Delta_1S_1 - \Delta_0S_1) + (\Delta_2S_2 - \Delta_1S_2) \quad (borrorwings) + \ (\Delta_2*S_2 - C_2) \quad (final payoff) \ \text{is equal to } \ C_0 \text{ -the initial price of the option} $$ 求解上述赫爾方程，我們得到，
$$ \Delta_0*(S_0-S_1) + \Delta_1*(S_1-S_2) = C_0 - C_2 $$ 從定義 $ \Delta $ ，這應該始終適用於小時間間隔。
因此，赫爾關於建立 delta 對沖投資組合的成本等於期權價格的說法是正確的