美式期權估值 - 歸納算法
美式看跌期權的價格由下式給出
$$ V_k = \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_K} E{e^{-\int_{t_k}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}_{t_k}} $$
我在一本書中發現以下內容： $$ \begin{aligned} V_{k-1} & = \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_{k-1}} E{e^{-\int_{t_{k-1}}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}{t{k-1}}} \ & =\max{(K-S_{t_{k-1}})^+, \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_{k}} E\big[D(t_{k-1},t_k)\times e^{-\int_{t_{k}}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}{t{k-1}}\big]} \ & = \max{(K-S_{t_{k-1}})^+, E\big[D(t_{k-1},t_k)V_k|\mathcal{F}{t{k-1}}\big] } \end{aligned} $$
我不明白最後的平等。誰能給我解釋一下？
由條件期望的塔性質和美式放的定義（問題中的第一個方程），我們得到
$$ \begin{align} \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_{k}} &E\big[D(t_{k-1},t_k)\times e^{-\int_{t_{k}}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}{t{k-1}}\big] \ &= \sup_{\tau\in\mathcal{T}, \tau\ge t_{k}} E\left[E\big[D(t_{k-1},t_k) e^{-\int_{t_{k}}^\tau r_sds} (K-S_{\tau})^+|\mathcal{F}{t{k}}\big]|\mathcal{F}{t{k-1}}\right] \ &=E\left[D(t_{k-1},t_k) V_k | \mathcal{F}{t{k-1}}\right]. \end{align} $$ 請注意，該術語 $ D(t_{k-1},t_k) $ 不依賴於 $ \tau $ 所以它可以從上界中出來。另請注意， $ \sigma $ -您上面評論中的代數已交換。
如果我只關注你最後一個公式的最後一個術語，你所擁有的是
$$ V_{k-1} = \max{(K-S_{t_{k-1}})^+, D(t_{k-1},t_k) E\big[V_k|\mathcal{F}{t{k-1}}\big] }. $$
這種平等背後的想法是當時美式期權的價值 $ t_{k-1} $ 應該是之間最方便的一個（因此是最大的）
- 當時行使期權，即 $$ (K-S_{t_{k-1}})^+ $$
- 延續值 $$ E\big[D(t_{k-1},t_k)V_k|\mathcal{F}{t{k-1}}\big], $$ 您可以在那裡將其理解為折扣期望值，折扣從時間開始 $ t_k $ 取決於 $ t_{k-1} $ .