在對數正態假設下對以下 caplet 型產品的分析評估
讓 $ n \geq 2 $ ，並考慮一個男高音離散化： $ 0 = T_{0} < T_{1} < … < T_{n} $ 以及當時評估的相關遠期利率 $ t $ ， 作為 $ L_{i}(t):=L(T_{i},T_{i+1};t) $ 對於任何 $ i = 0,…,n-1 $ .
此外，我們假設測量下的對數正態動態 $ \mathbb P $ ,
$$ dL_{i}(t)=L_{i}(t)(\mu_{i}^{\mathbb P}(t)dt +\sigma_{i}(t)dW_{i}(t)), $$
在哪裡 $ W_{i} $ 是布朗運動，此外，我們有以下相關結構：
$ dW_{i}(t)dW_{j}(t)=\rho_{ij}dt $ .
我們定義以下貨幣市場賬戶 $ M $ 有兩個論點 $ T_{i} < T_{j} $ :
$ M(T_{i}, T_{j})=\frac{1}{T_{j}-T_{i}}\left(\prod\limits_{k=i}^{j-1}\left(1+L_{k}(T_{k})(T_{k+1}-T_{k})\right)-1\right); (*) $
問題：
給予罷工 $ K>0 $ ，我怎麼能看重以下caplet型產品：
它支付 $ \max(M(T_{i},T_{j})-K,0) $ 有時 $ T_{j} $ ?
我的想法：
如果我們在 Black 模型中並且只評估支付的 caplet $ \max(L(T_{i},T_{j};T_{i})-K,0) $ 有時 $ T_{j} $ ，這只是採取“終端”措施的情況 $ \mathbb Q^{P(T_{j})} $ ，並使用黑色公式：
$ \text{Black}{\text{caplet},i,j}(P(T{j};0),K,L(T_{i},T_{j};0),\sigma_{i}) $
我不確定如何為 $ (*) $ . 有任何想法嗎？
我們假設，在 $ T_i $ - 前向措施， $$ \begin{align*} dL_i = L_i(t)\sigma_i(t)g_i(t)dW_t^i, \end{align*} $$ 在哪裡 $ g_i(t)=\pmb{1}{t \le T_i} $ . 那麼，對於 $ k=i, \ldots, j $ ， 在下面 $ T_j $ - 前向措施， $$ \begin{align*} dL_k = L_k(t)\sigma_k(t)g_k(t)\bigg(dW_t^j - \sum{l=k}^{j-1}\frac{\rho_{k,l}\Delta_l\sigma_l(t)g_l(t)L_l(t)}{1+\Delta_l L_l(t)}dt\bigg), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Delta_l = T_{l+1}-T_l $ . 讓 $$ \begin{align*} M_t=\frac{1}{T_j-T_i}\left(\prod_{k=i}^{j-1}\big(1+L_{k}(t)\Delta_k\big)-1\right), \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} \Sigma_t = \sum_{k=i}^{j-1}\ln\big(1+L_{k}(t)\Delta_k\big). \end{align*} $$ 然後 $ M_{T_j} = M(T_i, T_j) $ . 而且， $$ \begin{align*} d\Sigma_t &= \sum_{k=i}^{j-1}\bigg(\frac{\Delta_kdL_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k} -\frac{1}{2} \frac{\Delta_k^2d\langle L_k, L_k\rangle_t}{\big(1+ L_k(t)\Delta_k\big)^2}\bigg)\ &=\sum_{k=i}^{j-1}\frac{\Delta_k \sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}\bigg(dW_t^j \ &\qquad-\sum_{l=k}^{j-1}\frac{\rho_{k,l}\Delta_l\sigma_l(t)g_l(t)L_l(t)}{1+\Delta_l L_l(t)}dt -\frac{1}{2} \frac{\Delta_k\sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}dt\bigg), \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} dM_t &= \frac{1}{T_j-T_i}d\left(e^{\Sigma_t}-1\right)\ &= \frac{1}{T_j-T_i} e^{\Sigma_t}\left(d\Sigma_t + \frac{1}{2} d\langle\Sigma, , \Sigma\rangle_t\right)\ &=M_t \frac{1+(T_j-T_i)M_t}{(T_j-T_i)M_t}\sum_{k=i}^{j-1}\frac{\Delta_k \sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}\Bigg(dW_t^j \ &\qquad\qquad-\bigg(\sum_{l=k}^{j-1}\frac{\rho_{k,l}\Delta_l\sigma_l(t)g_l(t)L_l(t)}{1+\Delta_l L_l(t)} +\frac{1}{2} \frac{\Delta_k\sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}\ &\qquad\qquad\qquad\qquad- \frac{1}{2} \sum_{k=i}^{j-1}\frac{\Delta_k \sigma_k(t)g_k(t)L_{k}(t)}{1+ L_k(t)\Delta_k}\bigg)dt\Bigg). \end{align*} $$ 用它們在時間 0 時的值來逼近所有係數，您可以得到一個解析近似值 $ M $ 然後是 Black 風格的 caplet 估值公式。