具有負 beta 的 SABR 模型的近似 Hagan 公式
在研究修復 $ \beta $ 參數（基於以下回歸： $ \text{ln } \sigma^{ATM}_t = \text{ln } \alpha - (1-\beta)\text{ln }F_t $ ，正如 West (2004), page 6) 中解釋的那樣，在將 SABR 校準為股票期權市場數據之前，我發現推斷 $ \beta $ 的往往是負面的。這在之前的一個現有問題（SABR beta range）中進行了討論，並得到了一些有用的評論。結論：SABR 是無條件有效的，只要 $ \beta<1 $ .
我的問題是；雖然 SABR 模型有效，但 Hagan 近似公式是否也適用於負數 $ \beta $ ， 為什麼不）？
我的兩分錢值。這最終取決於您要達到的目標和校準目標。
期權價格隱含波動率的關鍵測試與它們的 pdf（機率密度函式）有關。
Hagan 展開式允許我們擁有一種分析形式，通過它可以計算隱含的 vols，然後將其輸入 Black76 方程。
如果測試是針對歐洲終端分佈的非套利條件（即在罷工中沒有負 pdf 密度），並且如果給定某個 beta，則可以恢復不違反負 pdf 的 pdf，我建議是美好的。
然而，第二個關鍵測試是，當隱含波動率表面經過校準時，它是否與波動率行為一致，因為它將被輸入其他模型和更奇特的產品？
例如，我們總是首先校準一個奇異模型以匹配歐洲期權（無論是 ATM 還是 ITM/OTM）。現在，如果這成功了，那麼 vol 表面和參數是否會被輸入到其他更複雜的模型中，例如帶有 vol-skew 的短速率模型？
如果是，但 SABR 負測試版會產生錯誤的（通常是轉發 vols）行為，那麼這就是一個問題的時候。
鑑於變化，ATM vol = alpha * F ^(beta-1)，如果您的遠期價格隨機過程 dF= alpha F^beta dW，這意味著您的有效 beta，CEV，為 1。這給出了 vol 的水平主幹表面。我認為這完全取決於這是否是您期望看到的——在震驚的價格情景下，成交量表面是粘性的。