比約克連續時間套利理論中的無套利價格過程問題
我目前正在研究 Bjork 的連續時間套利理論中的問題。但是，我無法解決書中 7.2 的以下問題。一個解決方案將不勝感激。
考慮 Black Scholes 模型。一家公司生產了黃金對數的衍生產品，以下簡稱 GL。到期時間為 T 的 GL 持有人，記為 GL(T)，將在時間 T 獲得總和 lnS(T)。請注意，如果 S(T)<1，這意味著持有人必須向公司支付正數。確定 GL(T) 的無套利價格過程
一般來說，無套利的價格過程 $ V_t $ 有時 $ 0 \le t \le T $ 對於歐洲索賠 $ X =f(S_T) $ 在 BS 模型下（看起來像你有）由
$$ V_t(X) = B_t\mathbb{E}_\mathbb{Q}[B_T^{-1}X | \mathcal{F}_t], $$ 在哪裡 $ B_t $ 是債券價格過程， $ \mathbb{Q} $ 是使貼現 BS 股票價格過程為 $ \mathbb{Q} $ -鞅，和 $ \mathcal{F}_t $ 是布朗運動的 sigma 場。這可能是問題要求的“過程”，但您需要在每個 $ t $ 實際使用它。
這是一個使用到期時的任意收益計算初始值的範例， $ X = f(S_T) $ , 所以你所要做的就是更換 $ f $ 用你的對數收益。
我假設您熟悉風險中性布朗運動下的 BS 股票價格過程， $ S_t = S_0\exp(\sigma \widetilde{W}_t + (r - \frac{1}{2}\sigma^2)t) $ ， 在哪裡 $ \widetilde{W}_t $ 是一個 $ \mathcal{N}(0, t) $ -固定的分佈隨機變數 $ t $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ 措施， $ r $ 是無風險利率和 $ \sigma $ ，波動率。注意指數函式的參數是 $ \mathcal{N}((r - \frac{1}{2}\sigma^2)t, \sigma^2 t) $ -固定的分佈隨機變數 $ t $ .
定義隨機變數 $ Y $ ~ $ \mathcal{N}(-\frac{1}{2}\sigma^2 T, \sigma^2 T) $ . 然後 $ S_T = S_0\exp(Y + rT) $ , 並讓 $ p(Y) $ 表示的pdf $ Y $ ，從公式 $ V_t $ 我們有
$$ V_0 = \mathbb{E}\mathbb{Q}[\mathrm{e}^{-rT}f(S_0\exp(Y + rT))] \ = \mathrm{e}^{-rT} \int{-\infty}^\infty f(S_0\exp(y + rT))p(y)\mathrm{d}y \ = \mathrm{e}^{-rT} \int_{-\infty}^\infty f(S_0\exp(y + rT))\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 T}}\exp\left(\frac{-(y + \frac{1}{2}\sigma^2T)^2}{2 \sigma^2 T}\right)\mathrm{d}y. $$
我也在做同樣的練習。讓 $ GL(t,s) $ 表示當時黃金對數的值 $ t $ 當標的股票有價格時 $ s $ .
正如 bcf 的回答一樣，Black-Scholes 模型給出： $$ GL(t,s) = e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^Q[GL(T)]=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^Q[\log S(T)], $$ 期望取代無風險措施。
Black-Scholes 模型的隨機過程是： $$ \begin{align} dS &= rSdt + \sigma SdW \ S(t) &= s \end{align}, $$ 所以黃金對數的隨機過程是： $$ \begin{align} d(GL)&=\left(r-\frac12 \sigma^2\right)dt + \sigma dW \ GL(t)&=\log s \end{align}. $$ 這個過程可以立即集成到： $$ GL(T) - \log s = \left(r-\frac12\sigma^2\right)(T-t) + \sigma\left(W(T)-W(t)\right). $$ 將其替換為上述期望，我們有 $$ GL(t,s) = e^{-r(T-t)}\int_{-\infty}^\infty \left[\log s + \left(r-\frac12 \sigma^2\right)(T-t) + z\right] f(z) dz, $$ 在哪裡 $ f(z) $ 是具有均值 0 和變異數的正態密度 $ \sigma^2(T-t) $ . 從這個表達式我們可以立即得出結論： $$ GL(t,s) = e^{-r(T-t)}\left[\log s + \left(r-\frac12\sigma^2\right)(T-t)\right]. $$ 我希望這是對的，但我不確定，因為我也在學習這些東西。