真的有封閉式定價公式嗎？
大家早上好，
我想在這裡發布這個問題，希望有更多的細節。在我看來，這種擔憂來自於“封閉形式”的概念並不明確。因為，一方面，我們有代數學家說高斯函式（誤差函式）不能有解析表達式，另一方面，我們有金融家認為任何產品價格公式都被考慮在內如果它是用高斯函式（如 Black-Scholes 公式的情況）或任何其他值在表中已知的函式編寫的，則為封閉形式。
因此，我的問題如下：在期權定價理論中，封閉式公式究竟是什麼意思？
這通常意味著人們可以根據“簡單”公式對期權進行定價，而不必求助於諸如蒙特卡羅、數值 PDE、數值積分、樹等數值方法。
這裡的“簡單”指的是初等函式和可能的冪級數展開（這應該包括錯誤函式）
事實上，封閉公式和“開放”公式之間的界限有點模糊。事實上，只要你使用 log、exp、erf、erfc 等特殊函式，你就依賴於擴展方法來評估它們的值。所以對於代數家來說，即使是這些公式也不應該被認為是“封閉的”。然而，它們的數值演算基於提供接近或精確機器雙精度的擴展，因此我們可以認為它們是“封閉的”。
現在，在量化金融中，我會採用以下更靈活和務實的定義來說明什麼是封閉的或不封閉的：
**1/**如果您的期權定價公式基於您明確知道的特徵函式（或其他函式），給定我們具有機器雙精度的特殊函式，前提是您已經測試了具有低於基點的精度的積分方案，您可以考慮這個成為候選“封閉”公式。當然，要對此進行評估，您將需要進行大量壓力測試，以確保公式的穩定性，同時其參數以各種可能的方式受到衝擊。
**2/**如果你的整體計算時間至少在數量級上與 Back Scholes 公式相似，那麼這個候選人就可以了。我告訴你，因為我可以在幾乎任何數值方法（如 PDE 或 Monte-Carlo）下獲得 bp 下的精度，但它需要更重要的計算時間。
我希望這將有助於您的思考。