At-The-Money-Forward 期權近似
鑑於歐洲呼叫的 Black-Scholes 公式由下式給出：
$$ C(S,t)=Se^{-D(T-t)}N(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2) $$ $ S $ 是股價， $ K $ 是行使價
At-The-Money-Forward 期權在以下情況下被觸發 $ K=Se^{(r-D)(T-t)} $ .
什麼時候 $ t\rightarrow T $ , 表明可以得到近似值 $$ C(S,t)\approx 0.4 Se^{-D(T-t)}\sigma\sqrt{T-t} $$
我從這裡的文章中註意到，除了最後一步，我理解了所有內容：
我發現：
$$ C(S,t)\approx S(0.4\sigma\sqrt{T-t}) $$通過使用泰勒級數展開 $ N(x) $ 大約 $ 0 $ ，但不知道如何使用下面的替換？ $$ S=Se^{-D(T-t)} $$
將贖回價格改寫為
$$ C(S,t) = e^{-r(T-t)} \left( F N(d_1) - K N(d_2) \right) $$ 在哪裡 $ F = Se^{(r-D)(T-t)} $ （遠期價格）。使用 $ F $ 你也可以這樣寫 $$ d_{1,2} = \frac{ \ln(F/K)\pm\frac{1}{2} \sigma^2(T-t) }{\sigma\sqrt{T-t}} $$ 現在，根據定義，當選項是 struct AMTF 時， $ K=F $ 你有那個
$$ C(S,t) = e^{-r(T-t)} F \left[ N\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\right) - N\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T-t}\right) \right] $$ 然後，您將處於與此問題完全相同的情況（請參見等式（1）），但使用 $ Fe^{-r(T-t)}=Se^{-D(T-t)} $ 代替 $ S $ . 其餘的開發保持不變。
這意味著，對於歐式期權，期權價格隱含的 ATMF 將是看漲期權價格 = 看跌期權價格的行使價。