ATM 隱含波動率和預期變異數
這個答案聲稱 $$ \sigma^2_{ATM}\approx E^Q\left(\frac{1}{T}\int_0^T\sigma^2_t dt\right) $$ 即隱含 ATM vol = 綜合變異數的風險中性預期。
有證據嗎？這種近似從何而來？它是否獨立於模型（可能不依賴於跳躍）？我猜它適用於歐式期權的隱含交易量？
第二個問題：如果市場不完整併且有幾個風險中性措施會發生什麼？
我不太確定另一個答案的 ATM 近似值（即我認為這不是一個很好的近似值）。我認為它來自以下 $ T \ll 1 $ : $$ \begin{align} E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u , du \right] &\approx E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \left(\sigma_0 + d\sigma_0 \right)^2, du \right] \ &\approx \frac{1}{T}\int_0^T \sigma_0^2 , du \ &\approx I^2_{ATM} \end{align} $$ 因為可以嚴格證明 $$ \lim_{u \rightarrow 0} \sigma_u = I_{ATM} $$
由於 Matytsin，您最好使用相當著名的表達式來表示變異數交換罷工。它是（在定價措施下）： $$ E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u , du \right] = \int_\mathbb{R} I^2(z) N’(z) dz $$ 在哪裡 $ z $ 是布萊克-斯科爾斯` $ d_2 $ ‘金錢衡量， $$ d_2 := \frac{\log(S_t/K)}{I\sqrt T} - \frac{I\sqrt T}{2} $$ 和 $ N’(z) $ 是標準正態密度。
然後你可以做的是擴大被積函式中的隱含波動率 $ z=0 $ , $$ I^2(z) = I^2(0) + z(I^2)’(0) + \frac{z^2}{2} (I^2)’’(0) + \cdots $$ 並將該術語替換回積分中。那麼最低階項是 $$ E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u , du \right] \approx I^2(0) $$ 我已經可以告訴你，這不是一個足夠好的近似值，因為 $ I(0) $ 大約是波動率互換罷工，因此最低階近似忽略了凸性校正。因此你需要去二階（你可以忽略條款 $ z^n $ 在哪裡 $ n $ 很奇怪）： $$ E \left[ \frac{1}{T} \int_0^T \sigma^2_u , du \right] \approx I^2(0) + \frac{ (I^2)’’(0)}{2} \int_{\mathbb R} z^2 N’(z) dz $$ 這是一個好的近似值，可用於非平凡的 $ T $ 值，例如 1 週或 1 個月，甚至可能更大 $ T $ . 另請注意，此近似值會自動為您提供凸度校正的表達式。