Bachelier 模型看漲期權定價公式
有沒有人有 Bachelier 模型看漲期權定價公式 $ r > 0 $ ?
我讀過的所有參考資料都假設 $ r = 0 $ . 我不會說法語，所以我無法閱讀 Bachelier 的原始論文。
我們假設，在風險中性測度下，股票過程 $ {S_t, t \ge 0} $ 滿足形式的 SDE $$ \begin{align*} dS_t = r S_t dt + \sigma dW_t, \end{align*} $$ 在哪裡 $ r $ 是固定利率， $ \sigma $ 是恆定的波動率，並且 $ {W_t, t \ge 0} $ 是標準布朗運動。為了 $ 0 \le t \le T $ , $$ \begin{align*} S_T = S_t e^{r(T-t)} + \sigma\int_t^T e^{r(T-s)}dW_s. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} S_T \mid S_t &\sim N\left(S_t e^{r(T-t)},, \frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \right) \right)\ &\sim S_t e^{r(T-t)} + \sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \right)},\xi, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \xi $ 是標準正態隨機變數。然後 $$ \begin{align*} C_t &= e^{-r(T-t)}E\left(\left(S_T-K\right)^+ \mid \mathcal{F}_t \right)\ &=e^{-r(T-t)}E\left(\left(S_t e^{r(T-t)} + \sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \right)},\xi-K\right)^+ \mid \mathcal{F}_t \right)\ &=e^{-r(T-t)}\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \right)}E\left(\left(\xi -\frac{K-S_t e^{r(T-t)}}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \right)}}\right)^+ \mid \mathcal{F}_t \right)\ &=e^{-r(T-t)}\left(S_t e^{r(T-t)}-K\right)\Phi\left(\frac{S_t e^{r(T-t)}-K}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \right)}}\right) \ &\qquad + e^{-r(T-t)}\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \right)},\phi\left(\frac{S_t e^{r(T-t)}-K}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \right)}}\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Phi $ 是標準正態隨機變數的累積分佈函式，並且 $ \phi $ 是對應的密度函式。
註釋
讓 $ K^=e^{-r(T-t)}K, $ 和$$ v^2(t, T) = \frac{\sigma^2}{2r}\left(1-e^{-2r(T-t)}\right). $$然後，我們可以將價格重新表示為 $$ \begin{align} C_t &= \left(S_t-K^\right)\Phi\left(\frac{S_t-K^}{v(t, T)}\right) +v(t, T),\phi\left(\frac{S_t-K^}{v(t, T)}\right). \end{align} $$另見金融建模中的馬丁格爾方法 一書的第 3.3 節；但是，請注意本書中存在一些拼寫錯誤。
另一種可能性是假設 $$ \begin{align*} S_t = e^{rt}(S_0 + \sigma W_t). \end{align*} $$ 然後可以類似地得到相應的期權價格。另見上述書。
用隨機微積分的基本知識推導出來非常簡單。但是，既然您在這裡尋找簡單的答案，那就是：
$$ C_t=e^{-r(T-t)}\sigma\sqrt{T-t} (D \Phi(D)+\phi(D)) $$ 在哪裡 $ D=\frac{F_{t,T}-K}{\sigma \sqrt{T-t}} $ 和 $ \Phi(\cdot) $ 和 $ \phi(\cdot) $ 分別是正常的 cdf 和 pdf。 $ F_{t,T}=S_te^{r(T-t)} $ 是遠期價格。