Bergomi 波動率模型
我正在研究 Bergomi 波動率模型（使用前向變異數表示為 $ \xi_{t}^{T} $ ). 但是我不明白作者是如何從 sde 到第一步只通過分別積分 $ \xi_{t}^{T} $ 和 $ W_{t}^{k} $ .
$ \begin{array}{l} \text {The dynamics are represented as : }\left{\begin{array}{l} d S_{t}^{\omega}=(r-q) S_{t}^{\omega} d t+\sqrt{\xi_{t}^{t}} S_{t}^{\omega} d Z_{t} \ d \xi_{t}^{T}=\omega \xi_{t}^{T} \sum_{k} \lambda_{k t}^{T}\left(\xi_{t}\right) d W_{t}^{k} \end{array}\right.\ \text { At order } 1(\text { Using one factor}) \text { in } \omega: \quad \xi_{t}^{T}=\xi_{0}^{T}\left(1+\omega \int_{0}^{t} \sum_{k}\left(\lambda_{k \tau}^{T}\right){0} d W{\tau}^{k}\right) \end{array} $
與現貨過程的瞬時變異數如 $ \xi_{t}^{t} $ , $ S_t $ 股價， $ w $ 比例因子， $ d W_{\tau}^{k} $ 相關的標準布朗運動。
有人可以幫我理解這一步嗎謝謝。
前向變異數的 SDE： $$ d \xi_t^T = w \xi_t^T \sum_k \lambda_{kt}^T(\xi_t^T) dW_t^k $$
整合： $$ \xi_t^T = \xi_0^T + w \int_0^t \xi_{\tau}^T \sum_k \lambda_{k{\tau}}^T(\xi_{\tau}^T) dW_{\tau}^k $$
插入 SDE 的 RHS： $$ d \xi_t^T = w \left(\xi_0^T + w \int_0^t \xi_{\tau}^T \sum_k \lambda_{k{\tau}}^T(\xi_{\tau}^T) dW_{\tau}^k\right) \ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; \sum_k \lambda_{kt}^T\left(\xi_0^T + w \int_0^t \xi_{\tau}^T \sum_k \lambda_{k{\tau}}^T(\xi_{\tau}^T) dW_{\tau}^k\right) dW_t^k $$
一階展開 $ w $ : $$ d \xi_t^T \approx w \xi_0^T \sum_k \lambda_{kt}^T\left(\xi_0^T\right) dW_t^k $$
整合： $$ \xi_t^T \approx \xi_0^T + \int_0^t w \xi_0^T \sum_k \lambda_{k{\tau}}^T\left(\xi_0^T\right) dW_{\tau}^k = \xi_0^T \left(1 + w \int_0^t \sum_k \lambda_{k{\tau}}^T\left(\xi_0^T\right) dW_{\tau}^k \right) $$