布萊克-斯科爾斯投資組合
在 black-scholes 模型中，對沖投資組合（在某些教科書中）由下式給出 $$ \Pi_t = V_t - \Delta S_t, $$ 即，投資組合由期權中的多頭頭寸組成 $ V $ 和 $ \Delta $ 股票空頭頭寸單位 $ S_t $ .
我們如何獲得投資組合價值的變化，即我們如何獲得 $$ d\Pi_t = dV_t - \Delta dS_t $$ 在一些教科書中，他們認為這是由於伊藤引理。我知道伊藤引理，但我不知道如何應用它來獲得上述內容。
我的想法：在一些教科書中，他們從（複製的）投資組合開始 $$ \Pi_t = \alpha S_t + \beta B_t, $$ 在哪裡 $ B_t $ 是無風險資產。然後，通過假設複製投資組合是自籌資金的，我們有 $$ d\Pi_t = \alpha dS_t + \beta dB_t, $$ 即，投資組合價值的變化是由於市場條件的變化而不是注入或提取現金。
我們有沒有$$ d\Pi_t = dV_t - \Delta dS_t $$ 因為自籌資金的假設？但是為什麼有些書說我們是通過伊藤引理得到的呢？我們如何將伊藤引理應用於$$ \Pi_t = V_t - \Delta S_t \qquad ? $$
親切的問候
“對沖投資組合”的論點是有問題的。在這篇論文中，Peter Carr 評論了“ Black-Scholes 論文中給出的對沖論點是否正確？ ”。我相信這回答了你的問題。
例如，可以從 Shreve II 中找到使用“複製投資組合”來論證 BS 方程的另一種方法。正如你所寫，你可以假設自籌資金的條件。隨後可以證明，BS 方程意味著自籌資金組合的存在。關於如何做到這一點的想法可以從這篇文章中找到。
我不確定我是否完全理解了你的問題。
無論如何，將您的金融衍生品視為時間和股票的函式： $$ V_t = v(t, \ S). $$ 使用伊藤引理，我們可以恢復： $$ dV_t = \frac{\partial v}{\partial t}dt + \frac{\partial v}{\partial S}dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 v}{\partial S^2}d<S>_t. $$ 存在 $ \frac{\partial v}{\partial S} = \Delta $ 根據定義，您會得到： $$ d\Pi_t = \frac{\partial v}{\partial t}dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 v}{\partial S^2}d<S>_t. $$ 請注意，由於 $ S_t $ .
那是你要找的嗎？