異國情調的布萊克斯科爾斯價格
給定一個時間範圍N，我想知道時間- $ t $ Black-Scholes 的公平價格$$ \int_0^T S_u du $$在哪裡 $ S_u $ 表示時間- $ u $ 股票價格。我使用了我給出的公式如下： $$ \begin{align*} &e^{-r(T-t)}E^Q\left(\int_0^T S_u du\mid \mathcal{F}_t \right)\=&e^{-r(T-t)}\int_0^t S_u du+e^{-r(T-t)}E^Q\left(\int_t^T S_u du\mid \mathcal{F}_t\right)\=&e^{-r(T-t)}\int_0^t S_u du+S_te^{-r(T-t)}E^Q\left(\int_t^T \frac{S_u}{S_t} du\mid \mathcal{F}_t\right)\=&e^{-r(T-t)}\int_0^t S_u du+S_te^{-r(T-t)}E^Q\left(\int_t^T e^{(r-\sigma^2/2)(u-t)}e^{\sigma(W_u-W_t)} du\mid \mathcal{F}_t\right)\=&e^{-r(T-t)}\int_0^t S_u du+S_te^{-r(T-t)}E^Q\left(\int_t^T e^{(r-\sigma^2/2)(u-t)}e^{\sigma(W_u-W_t)} du\right) \end{align*} $$ 我們刪除了條件，因為 $ W_u-W_t $ 與 sigma 代數無關。現在我們交換積分並使用正態分佈的 mgf。 $$ \begin{align*}=&e^{-r(T-t)}\int_0^t S_u du+S_te^{-r(T-t)}\left(\int_t^T e^{(r-\sigma^2/2)(u-t)}e^{\sigma^2(u-t)^2/2} du\right) \end{align*} $$
我想知道首先，這是否正確，其次，這是否像我們可以為定價一樣簡單，或者我們是否可以簡化這個表達式。
編輯：感謝@LucaMac 指出 $ E(e^{\sigma(W_u-W_t)})=e^{\sigma^2(u-t)/2} $
這看起來是正確的，但有點複雜。我們知道在布萊克-斯科爾斯沒有分紅的情況下， $ E^Q(S_t) = Forward = S_0 e^{rt} $
$ e^{-rT}E^Q(\int_0^TS_tdt) = e^{-rT}\int_0^TE^Q(S_t)dt \ = e^{-rT}\int_0^T S_0 e^{rt} dt = S_0 e^{-rT}\int_0^T e^{rt} dt \ = S_0 e^{-rT} \frac{1}{r}(e^{rT} - 1) = S_0\frac{1-e^{-rT}}{r} $
可以直接推廣到不過濾的情況 $ F_0 $ 但 $ F_t $ .
在訂單 1 中 $ rT $ :
$ S_0\frac{1-e^{-rT}}{r} \approx S_0\frac{1-(1-rT)}{r} = S_0T $ ，這是您期望的近似值。因為你整合 $ E^Q(S_t) $ 從 0 到 T $ \approx S_0e^{r\frac{T}{2}} $ . 所以 $ e^{-rT}\int_0^T S_0e^{r\frac{T}{2}} dt = S_0e^{-r\frac{T}{2}}T $