隨機利率下的布萊克-斯科爾斯
我正在嘗試實施 Black-Scholes 公式來為隨機利率下的看漲期權定價。根據 McLeish (2005) 的書，公式由下式給出（假設利率是非隨機的，即已知的）：
$ E[exp{-\int_0^Tr_t dt}(S_T-k)^+] $
= $ E[(S_0 exp{N(-0.5\sigma^2T,\sigma^2T)}-exp{-\int_0^Tr_tdt}K)^+] $
= $ BS(S_0,k,\bar{r},T,\sigma) $
在哪裡 $ \bar{r}=\frac{1}{T}\int_0^Tr_tdt $ 是期權有效期內的平均利率。
如果利率是隨機的，“我們仍然可以通過首先以利率為條件來使用 Black-Scholes 公式，因此
$ E[e^{-\bar{r}T}(S_T-K)^+|r_s, 0<s<T]= BS(S_0,K,\bar{r},T,\sigma) $
然後通過模擬值來計算 this 的無條件期望值 $ \bar{r} $ 和平均”。
我不確定如何計算 $ \bar{r} $ 給定一個模擬的樣本路徑。
我們假設短期利率 $ r_t $ 遵循 Hull-White 模型，即短期利率 $ r $ 和股價 $ S $ 滿足以下形式的 SDE 系統
$$ \begin{align*} dr_t &= (\theta_t -a, r_t)dt + \sigma_0 dW_t^1,\ dS_t &= S_t\Big[r_t dt + \sigma \Big(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^2\Big)\Big], \end{align*} $$ 在哪裡 $ a $ , $ \sigma_0 $ , $ \sigma $ ， 和 $ \rho $ 是常數，並且 $ {W_t^1, t\ge 0} $ 和 $ {W_t^2, t\ge 0} $ 是兩個獨立的標準布朗運動。 注意，
$$ \begin{align*} &\ E\bigg(\exp\Big(-\int_0^T r_t dt \Big) (S_T-K)^+\bigg) \ =& \ E\bigg(e^{-\bar{r}T} \Big(S_0e^{\bar{r}T -\frac{1}{2}\sigma^2 T - \sigma \big(\rho W_T^1 + \sqrt{1-\rho^2}W_T^2\big)} -K\Big)^+ \bigg)\ =& \ E\Bigg(E\bigg(e^{-\bar{r}T} \Big[S_0e^{\bar{r}T -\frac{1}{2}\sigma^2 T + \sigma \big(\rho W_T^1 + \sqrt{1-\rho^2}W_T^2\big)} -K\Big]^+ \Bigg\vert r_s, 0<s \leq T\bigg)\Bigg)\ =& \ E\Big(F(S_0,K,\bar{r},T,\sigma, W_T^1) \Big\vert r_s, 0<s \leq T\Big), \end{align*} $$ 對於某個功能 $ F $ . 注意隨機變數 $ W_T^1 $ 在公式。 如果 $ \rho=0 $ ， 那是， $ S $ 和 $ r $ 是獨立的，那麼
$$ \begin{align*} &\ E\bigg(\exp\Big(-\int_0^T r_t dt \Big) (S_T-K)^+\bigg) \ =& \ E\Bigg(E\bigg(e^{-\bar{r}T} \Big(S_0e^{\bar{r}T -\frac{1}{2}\sigma^2 T + \sigma W_T^2} -K\Big)^+ \bigg\vert r_s, 0<s \leq T\bigg)\Bigg)\ =&\ E\Big(BS(S_0,K,\bar{r},T,\sigma) \Big\vert r_s, 0<s \leq T \Big). \end{align*} $$ 也就是說，如果股票價格和利率獨立，則問題中提供的公式成立。在這種情況下， $ \bar{r} $ 可以用黎曼和來近似。
編輯
在這裡，我們為上述普通歐式期權提供了一個分析估值公式。從這個問題，零息債券價格由下式給出
$$ \begin{align*} P(t, T) &= E\left(e^{-\int_t^T r_s ds} \Big\vert \mathcal{F}_t \right)\ &=\exp\left(-B(t, T) r_t - \int_t^T \theta(s) B(s, T) ds + \frac{1}{2}\int_t^T \sigma_0^2 B(s, T)^2 ds\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} B(t, T) = \frac{1}{a}\Big(1-e^{-a(T-t)} \Big). \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} d\ln P(t, T) &=-e^{-a(T-t)}r_tdt -B(t, T)dr_t + \theta(t)B(t, T)dt - \frac{1}{2} \sigma_0^2 B(t, T)^2 dt\ &=\left(r_t-\frac{1}{2} \sigma_0^2 B(t, T)^2\right) dt - \sigma_0 B(t, T)dW_t,\tag{1} \end{align*} $$ 或者 $$ \begin{align*} \frac{dP(t, T)}{P(t, T)} = r_t dt - \sigma_0 B(t, T)dW_t. \end{align*} $$ 讓 $ Q $ 表示風險中性測度和 $ Q^T $ 表示 $ T $ -前向措施。此外，讓 $ B_t = e^{\int_0^t r_s ds} $ 為貨幣市場賬戶價值。從 $ (1) $ ,
$$ \begin{align*} \frac{dQ^{T}}{dQ}\Bigg|_t &= \frac{P(t, T)B_0}{P(0, T)B_t}\ \ (\text{with } B_0=1) \ &=\exp\left(-\frac{1}{2}\int_0^t \sigma_0^2 B(s, T)^2 ds - \int_0^t \sigma_0 B(s, T) dW_s\right). \end{align*} $$ 然後由Girsanov 定理，在 $ Q^T $ , 過程 $ {(\widehat{W}_t^1, \widehat{W}_t^2), t \ge 0 } $ ， 在哪裡 $$ \begin{align*} \widehat{W}_t^1 &= W_t^1 + \int_0^t \sigma_0 B(s, T) ds,\ \widehat{W}_t^2 &= W_t^2, \end{align*} $$ 是標準的二維布朗運動。此外，根據 $ Q^T $ , $$ \begin{align*} \frac{dP(t, T)}{P(t, T)} &= r_t dt - \sigma_0 B(t, T)dW_t^1 \ &=\big(r_t +\sigma_0^2 B(t, T)^2\big)dt - \sigma_0 B(t, T)d\widehat{W}_t^1 \ \frac{dS_t}{S_t} &= r_t dt + \sigma \Big(\rho dW_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} dW_t^2\Big) \ &=\big(r_t- \rho\sigma_0\sigma B(t, T)\big) dt + \sigma \Big(\rho d\widehat{W}_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} d\widehat{W}_t^2\Big).\tag{2} \end{align*} $$ 請注意，遠期價格 $ F(t, T) $ 有形式
$$ \begin{align*} F(t, T) &= E_{Q^T}(S_T \mid \mathcal{F}_t)\ &=\frac{S_t}{P(t, T)}. \end{align*} $$ 這是一個鞅 $ T $ - 前向測量 $ Q^T $ 並滿足形式的 SDE $$ \begin{align*} dF(t, T) &= \frac{dS_t}{P(t, T)} -\frac{S_t}{P(t, T)^2}dP(t, T) \ &\qquad - \frac{d\langle S_t, P(t, T)\rangle}{P(t, T)^2} + \frac{S_t}{P(t, T)^3}d\langle P(t, T), P(t, T)\rangle\ &= F(t, T)\left[\sigma \Big(\rho d\widehat{W}_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} d\widehat{W}_t^2\Big) + \sigma_0 B(t, T)d\widehat{W}_t^1 \right]\ &= F(t, T) \left[ \big(\sigma\rho + \sigma_0 B(t, T)\big) d\widehat{W}_t^1 + \sigma \sqrt{1-\rho^2} d\widehat{W}t^2 \right]. \end{align*} $$ 讓 $ \hat{\sigma} $ 是一個由下定義的量 $$ \begin{align*} T\hat{\sigma}^2 &= \int_0^T\Big[\big(\sigma\rho + \sigma_0 B(s, T)\big)^2 + \sigma^2\big(1-\rho^2\big) \Big] ds\ &=\int_0^T\Big[\sigma^2 + 2\rho\sigma\sigma_0 B(s, T) + \sigma_0^2 B^2(s, T)\Big] ds\ &=\sigma^2T + \frac{2\rho\sigma\sigma_0}{a}\Big[T-\frac{1}{a}\big(1-e^{-aT}\big)\Big] + \frac{\sigma_0^2}{a^2}\Big[T+\frac{1}{2a}\big(1-e^{-2aT} \big) - \frac{2}{a}\big(1-e^{-aT} \big) \Big]\ &=\sigma^2T + \frac{2\rho\sigma\sigma_0}{a}\Big[T-\frac{1}{a}\big(1-e^{-aT}\big)\Big] + \frac{\sigma_0^2}{a^2}\Big[T-\frac{1}{2a}e^{-2aT}+\frac{2}{a}e^{-aT} -\frac{3}{2a} \Big]. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} F(T, T) = F(0, T)\exp\left(-\frac{1}{2}\hat{\sigma}^2T + \hat{\sigma}\sqrt{T} Z \right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ Z $ 是標準正態隨機變數。最後， $$ \begin{align*} E_Q\left(\frac{(S_T-K)^+}{B_T}\right) &= E_Q\left(\frac{(F(T, T)-K)^+}{B_T}\right)\ &=E{Q^T}\left(\frac{(F(T, T)-K)^+}{B_T} \frac{dQ}{dQ^T}\bigg|T \right)\ &=P(0, T)E{Q^T}\left((F(T, T)-K)^+\right)\ &=P(0, T)\big[F(0, T)N(d_1) - KN(d_2) \big], \end{align*} $$ 在哪裡 $ d_1 = \frac{\ln F(0, T)/K + \frac{1}{2}\hat{\sigma}^2 T}{\hat{\sigma} \sqrt{T}} $ 和 $ d_2 = d_1 - \hat{\sigma} \sqrt{T} $ .