Black Scholes模型中看漲期權的邊界條件
讓 $ C(t,S) $ 是看漲期權的價值函式。我想使用（顯式）有限差分和 Black Scholes PDE 對該選項進行定價。我考慮網格 $ 0=t_0<t_1<…<t_{N-1}<t_N=T $ 和 $ S_0<S_1<…<S_{M-1}<S_M $ .
我強加了邊界條件
- 付清： $ C(t_N,S_j)=(S_j-K)^+ $ 對所有人 $ j=0,…,M $ ,
- 低股價： $ C(t_i,S_0)=0 $ 對所有人 $ i=0,…,N-1 $ ,
- 高股價： $ C(t_i,S_M)=S_M $ 對所有人 $ i=0,…,N-1 $ .
但是右上角的選項值沒有跳躍嗎？到期時，我們使用收益 $ C(t_N,S_M)=S_M-K $ 但是我們使用 $ C(t_{N-1},S_M)=S_M $ 作為所有其他時間點的股價上限邊界條件？但這意味著結束 $ \Delta t $ , 期權價格上漲$ $ K $ .
條件 $ S=0 $ 和 $ t=T $ 匹配在 $ (t_N,S_0) $ 點，但似乎不匹配 $ (t_N,S_M) $ ?
注意：
$$ C(t,S) =S-K{\rm e}^{-r(T-t)} $$
作為 $ S\rightarrow \infty $ ， 對所有人 $ t $ .
基本上是因為一個人很容易接受
$$ P(t,S) =0 $$
作為 $ S\rightarrow \infty $ ， 對所有人 $ t $ ,
並且人們仍然期望看跌期權平價保持：
$$ C(t,S) - P(t,S) = S-K{\rm e}^{-r(T-t)} $$
對所有人 $ S $ .
我認為你的假設有點令人困惑。C(T, Smax) 是收益 Smax-K。但在這種情況下，無論您的成熟時間是多少，Smax 都可能非常大。但是，當您說 C(t,Smax) 這很糟糕，因為在起點您不知道它是 Smax，您只知道資產的目前/基礎價值。在回報的情況下，您正在為時間段的結束定價，T。所以 C(t,Smax) 不會是 Smax。那時，看漲期權沒有價值，因為對於歐式期權，最好的回報是在執行時。但是要知道美國的收益，您必須知道貼現收益。我認為你的界限很接近，但我不確定為什麼你的高股價寫成 C(t,Smax)。那個小“t”是你開始的開始時間，