計算期權定價二項式模型下的波動率
下面引用了原始問題。
標的股票價格現在是100美元，明天是101美元（有機率 $ p $ ）或99美元（有可能 $ 1-p $ ）。具有價值的看漲期權 $ c $ 明天到期的行使價為100 美元。求 $ c $ 在布萊克-斯科爾斯模型下。忽略利率。
當我解決這個問題時，我首先得出 $ p=\frac{1}{2} $ . 要使用看漲期權價格公式，我們需要 $ S, E, r, T-t, \sigma $ . 從問題中可以看出
$$ S=100, E=100, r=0, T-t=\frac{1}{365} $$所以我們只需要 $ \sigma $ . 自從 $ \sigma $ 由回報的標準差來衡量 $ \frac{dS}{S} $ ，我進行如下：$$ E(return)=(1/100)(0.5)+(-1/100)(0.5)=0 $$ $$ Var(return)=(1/100-0)^2(0.5)+(-1/100-0)^2(0.5)=0.0001 $$ $$ sd(return)=\sqrt{0.0001}=0.01 $$ 在 Black-Scholes 模型下應用看漲期權的顯式價格公式，我發現$$ d_1=0.00026171, d_2=-0.00026171, N(d_1) = 0.500104407965456, N(d_2)=0.499895592034544 $$因此，期望的價格是$$ SN(d_1)-Ee^{-r(T-t)}N(d_2)=0.0209 $$ 這個過程對我來說似乎是合乎邏輯的。但是，由於看漲期權的利潤是$$ (1)(0.5)+(0)(0.5)=0.5 $$我預計價格接近或等於0.5美元。他們怎麼差別這麼大？
根據您對我的評論的回答，這就是我要做的。
在地平線上 $ [0,\Delta t] $ , BS 模型告訴你預期的對數回報是
$$ \Bbb{E}\left[ \ln\left(\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}\right) \right] = \left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t $$ 有差異 $$ \Bbb{V}\left[ \ln\left(\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}\right) \right] = \sigma^2 \Delta t $$ 在同一範圍內，您的二項式模型告訴您：
$$ \Bbb{E}\left[ \ln\left(\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}\right) \right] = 0.5 \ln(101/100)+0.5\ln(99/100) \approx -5e^{-5} $$ $$ \begin{align} \Bbb{V}\left[ \ln\left(\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}\right) \right] &=(0.5\ln^2(101/100) + 0.5\ln^2(99/100)) - (-5e^{-5})^2 \approx 1e^{-4} \end{align} $$ 如果您希望您的模型相互一致，它們至少應該在對數返回分佈的兩個第一時刻達成一致。這限制了您選擇：
$$ (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t = -5e^{-5},\quad \sigma^2 \Delta t = 1e^{-4} $$ 這給出了 $ \Delta t=1/365 $ $$ \sigma = \sqrt{1e^{-4}\dot,365} = 1e^{-2}\sqrt{365} = 0.1911 $$ $$ \mu = -5e^{-5}\dot,365+\frac{1}{2}(0.1911)^2 \approx 1e^{-5} $$ 現在您可以使用 BS 公式來查找價格 $ 0.4 $ .