用隨機短期利率校準赫斯頓模型
我有以下隨機短期利率的赫斯頓模型： $$ \begin{eqnarray*}dS\left(t\right)&=&r\left(t\right)S\left(t\right)dt+\nu\left(t\right)S\left(t\right)dW^{S}\left(t\right)\dr\left(t\right)&=&\beta\left(\alpha-r\left(t\right)\right)dt+\sigma\sqrt{r\left(t\right)}dW^{r}\left(t\right)\d\nu\left(t\right)&=&\kappa\left(\theta-\nu\left(t\right)\right)dt+\xi\sqrt{\nu\left(t\right)}dW^{\nu}\left(t\right)\end{eqnarray*} $$
其中所有維納過程都可以關聯。如何校準此模型？我聽說如果短期利率與股票價格過程無關，那麼我們可以首先校準短期利率（如何做到這一點？我們應該使用哪些工具？）然後校準股票過程，例如看漲期權價格。為什麼只有當這兩個組件不相關時才有可能？在實踐中，股票和利率之間的相關性是什麼？如果我們有相關的股票和利率，如何校準這個模型？
如果我們從字面上理解您的模型（我建議的更正作為評論），那麼不存在（半）封閉形式，恕我直言，您可以將其用於資產定價。然後，您可以做的是使模型更簡單或進行模擬。
模擬
這是令人討厭的部分。根據您的模型，您模擬了大量的貼現因子和資產價格，並將您的參考期權定價為平均貼現收益。當然，保持隨機種子是固定的。然後您校準模型參數，以盡量減少定價誤差的某些功能。
降低複雜性並獲得易處理性
如果您可以使用稍微簡單的版本，您可以使用仿射擴散過程下的歐洲類型衍生品估值的標準機器。
您可能會假設無風險利率和資產/變異數隨機性之間的相關性為零，即 $ \mathrm{E}(dW_S(t)dW_r(t))=\mathrm{E}(dW_v(t)dW_r(t))=0dt $ 並恢復您在問題中已經引用的模型。或者您可以將您的模型重新表述為：
$$ \begin{eqnarray*}dS\left(t\right)&=&r\left(t\right)S\left(t\right)dt+\color{red}{\sqrt{\nu\left(t\right)}}S\left(t\right)dW^{S}\left(t\right)\ dr\left(t\right)&=&\beta\left(\alpha-r\left(t\right)\right)dt+\sigma\color{red}{\sqrt{\nu\left(t\right)}}dW^{r}\left(t\right)\d\nu\left(t\right)&=&\kappa\left(\theta-\nu\left(t\right)\right)dt+\xi\sqrt{\nu\left(t\right)}dW^{\nu}\left(t\right)\end{eqnarray*} $$
在這個公式中，三個過程共享相同的變數來驅動它們的變異數， $ \nu(t) $ . 因此過程的共變異數結構，在轉換後 $ S_t\to ln(S_t)\equiv y_t $ ,
$$ \mathrm{E}(dXdX^T)=\mathrm{E}\begin{pmatrix}dy_tdy_t&dy_tdr_t&dy_td\nu_t\ dy_tdr_t & dr_tdr_t & dr_tdy_t\ dy_td\nu_t & dr_td\nu_t & d\nu_td\nu_t\end{pmatrix}=\nu_t\begin{pmatrix}1&\sigma\rho_{S,r}&\xi\rho_{S,\nu}\ \sigma\rho_{S,r}&\sigma^2&\sigma\xi\rho_{r,\nu}\\xi\rho_{S,\nu}&\sigma\xi\rho_{r,\nu}&\xi^2\end{pmatrix}dt $$
這是線性的 $ X_t $ ，即在 $ \begin{pmatrix}y_t\equiv \ln(S_t)&r_t&\nu_t\end{pmatrix}^T $ .
從這裡，您可以非常可追溯地推導出貼現債券定價方程和期權價格公式的特徵方程，並將所有內容插入一些傅里葉變換方法。因此，您可以獲得易於處理的（準）封閉式債券和期權定價公式，這些公式可以根據觀察到的價格進行校準。
HTH 有點？
**注意：**對於從業者來說，一個問題仍然存在：哪種金融工具會提供資訊來確定短期利率創新與股票價格創新之間的關係？