期貨期權的特徵函式
使用簡單的 delta-probability 分解，非股息支付資產的歐洲看漲期權價格可以計算為
$$ \begin{equation} C(T,K) = {S_0}{\rm{ }}{\Pi _1} - {e^{ - rT}}K{\rm{ }}{\Pi _2}, \end{equation} $$ 和
$$ \begin{equation} {\Pi _1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi }\int_0^\infty {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\frac{{{e^{ - iw\ln (K)}}{\psi _{\ln {S_T}}}(w - i)}}{{iw{\psi _{\ln {S_T}}}( - i)}}} \right]} ;dw, \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{pi2} {\Pi _2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi }\int_0^\infty {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\frac{{{e^{ - iw\ln (K)}}{\psi {\ln {S_T}}}(w)}}{{iw}}} \right]} ;dw, \end{equation} $$ 和在哪裡 $ {\psi {\ln {S_T}}} $ 是對數資產價格的特徵函式。例如，對於 Heston 和 Variance Gamma 模型，對應的 $ \psi^{H}{\ln {S_T}} $ 和 $ \psi^{VG}{\ln {S_T}} $ 由以下給出：
- 變異數伽瑪
$$ \begin{equation} \psi _{\ln ({S_t})}^{VG}(w) = {\left( {\frac{1}{{1 - i\theta vw + ({\sigma ^2}v/2){w^2}}}} \right)^{t/v}} \end{equation} $$
- 赫斯頓
$$ \begin{equation} \psi_{\ln(S_t)}^{H} (w) = e^{ C(t,w) \overline{V}+ D(t,w) V_0 +iw \ln(S_0 e^{rt})}, \end{equation} $$ 在哪裡 $$ \begin{eqnarray*} C(t,w) &=& a \left[ r_{-} \cdot t - \frac{2}{\eta^2} \ln \left( \frac{1-g e^{-ht}}{1-g} \right) \right], \ D(t,w) &=& r_{-} \frac{1-e^{-ht}}{1-g e^{-ht}}, \ \alpha &=& - \frac{w^2}{2}- \frac{iw}{2}, \quad \beta = a - \rho \eta i w , \quad \gamma = \frac{\eta^2}{^2}, \ r_{\pm} &=& \frac{ \beta \pm h}{\eta^2}, \quad h= \sqrt{ \beta^2- 4 \alpha \gamma}, \quad g= \frac{r_{-}}{r_{+}}. \end{eqnarray*} $$ 然而，這些等式適用於現貨價格的期權。如果我對期貨期權感興趣，應該對上面的公式進行哪些修改？（因為它不像簡單地使用 $ F_0 $ 代替 $ S_0 $ 並消除影響 $ r $ ， 正確的？）
我大體上同意 Quantuple 的評論。
我明確討論了變異數伽馬模型的情況，儘管其中大部分也適用於赫斯頓。首先請注意，在變異數伽馬模型的情況下，您提出的特徵函式不是風險中性機率測度下的對數股票價格。讓 $ X $ 是一個變異數伽瑪過程，如 Madan 等人。（1998 年）。的特徵函式 $ X_t $ 是
$$ \begin{equation} \phi_{X_t}(\omega) = \left( 1 - \mathrm{i} \theta \nu \omega + \frac{1}{2} \sigma^2 \nu \omega^2 \right)^{-t / v}; \end{equation} $$ 請參閱原始論文中的方程式（7）（請注意，您的問題最初有一個錯字）。我們現在尋找一個漂移項 $ \gamma $ , 這樣過程
$$ \begin{equation} Y_t = \exp \left{ \gamma t + X_t \right} \end{equation} $$ 是鞅。你會發現
$$ \begin{equation} \gamma = -\ln \left( \phi_{X_t}(-\mathrm{i}) \right). \end{equation} $$ 你的股票和遠期價格模型分別是
$$ \begin{eqnarray} S_t & = & S_0 \exp \left{ (r + \gamma) t + X_t \right}\ F_t(T) & = & F_0(T) \exp \left{ \gamma t + X_t \right} \end{eqnarray} $$ 具有特色功能
$$ \begin{eqnarray} \phi_{\ln \left( S_t \right)}(\omega) & = & \exp \left{ \mathrm{i} \left( \ln \left( S_0 \right) + r + \gamma \right) \omega t \right} \phi_{X_t}(\omega)\ \phi_{\ln \left( F_t(T) \right)}(\omega) & = & \exp \left{ \mathrm{i} \left( \ln \left( F_0(T) \right) + \gamma \right) \omega t \right} \phi_{X_t}(\omega) \end{eqnarray} $$ 您現在可以重新使用您的一般表達式 $ \Pi_1 $ 和 $ \Pi_2 $ 就適當的特徵函式而言，因為這些只是相應度量下的相應行使機率。然後您的定價公式變為
$$ \begin{equation} C_0 = e^{-r T} \left( F_0(T) \Pi_1 - K \Pi_2 \right). \end{equation} $$ 如果您想說服自己這是正確的，那麼您可以按照 Schmelzle (2010) 中給出的詳細步驟進行操作。
參考
Madan、Dilip B、Peter P. Carr 和 Eric C. Chang（1998 年）“變異數 Gamma 過程和期權定價”，歐洲金融評論，卷。2，第 79-105 頁
Schmelzle, Martin (2010) “使用傅里葉變換的期權定價公式：理論與應用”，技術報告