二項式模型的完整性 - 證明

我正在審查證明二項式模型完整且不理解標記為紅色的過渡的步驟。有人可以解釋這一步嗎？

如果 $ P^{**} $ 是風險中性度量，因此

$ E^{**}[\bar{S}_{n+1} | \ F_n] = \bar{S}_n \ \ $ 對於所有 n

所以給定模型的結構，

$ \frac{1}{(1 + r)^{n+1}}E^{}[S_{n+1} | \ F_n]=\frac{1}{(1 + r)^{n+1}}(uS_nP^{}[R_{n+1}=u \ | \ F_n]+dS_nP^{**}[R_{n+1}=d \ | \ F_n])= $

$ =\color{red}{\bar{S}{n} { d+(u-d)\ P^{**}[R{n+1}=u \ | \ F_n] } } $

按鞅條件

$ \frac{1}{1+r} { d+(u-d)\ P^{**}[R_{n+1}=u \ | \ F_n] }=1 $

所以 $ P^{**}[R_{n+1}=u \ | \ F_n]=\frac{1+r-d}{u-d}=p^* $

$ P^{**}=P^{*} $

因此二項式模型是完備的。

如果你寫

$$ P[R_{n+1} = d|F_n] = 1 - P[R_{n+1} = u|F_n] ? $$ 讓我們寫 $ P(u) = P[R_{n+1} = u|F_n] $ 然後要顯示的部分是 $$ u \bar{S}_n P(u) + d \bar{S}_n (1-P(u)) $$ 還有這個 $$ \bar{S}_n \left(d +(u-d)P(u) \right), $$ 我們只是擴展了項，然後提取了係數。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/22822