Poisson過程首跳時間指標函式的條件期望（期權定價 PDE）
這應該是為了從“非線性期權定價”（Guyon）一書中推導出為特定類型的期權定價的 PDE。
該選項提供 $ g(\tau, X_{\tau}) $ 有時 $ \tau $ 如果 $ \tau < T $ ，或者它提供 $ g(T,X_T) $ 有時 $ T $ 如果 $ \tau \geq T $ . $ \tau $ 是具有強度的Poisson過程的第一次跳躍 $ \beta(t) $ （這與最新的資訊無關 $ t $ ）。所以現在的時間是 $ t $ 期權到期日為 $ T $ （除非跳躍發生得更早）。
這 $ r(s,X_s) $ 下面的值只是用來折現收益的比率，所以我不確定它是否與我的問題相關。
所以當時的期權價格 $ t $ 是$$ \mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} * e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T) + 1_{\tau < T} * e^{-\int_{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau}) | X_t = x {\large]} $$
我理解到這一點。之後，該等式設置為等於以下內容：$$ \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s) + \beta(s)ds}g(T,X_T) + \int_{t}^{T}\beta(s)g(s,X_s)e^{-\int_{t}^{s}r(u,X_u) + \beta(u)du}ds) | X_t = x {\large]} $$
我不知道總和中的第二項是如何產生的。我可以看到的第一個術語來自以下（我認為）：$$ \mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} * e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \ \mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} | X_t = x {\large]} * \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \ \mathbb{E}{\large[}1_{\tau \geq T} {\large]} * \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \ e^{-\int_{t}^{T}\beta(s)ds} * \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T)| X_t = x {\large]} = \ \mathbb{E}{\large[}e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s) + \beta(s)ds}g(T,X_T) | X_t = x {\large]} $$
所以基本上我想知道如何從$$ \mathbb{E}{\large[}1_{\tau < T} * e^{-\int_{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau}) | X_t = x {\large]} $$至$$ \mathbb{E}{\large[}\int_{t}^{T}\beta(s)g(s,X_s)e^{-\int_{t}^{s}r(u,X_u) + \beta(u)du}ds | X_t = x {\large]} $$假設我正確計算了另一部分。
非常感謝您的幫助！
在書中，假設 $ \tau $ 是Poisson過程的第一次跳躍 $ N_t $ 具有確定性的強度 $ \beta(t) >0 $ , 獨立於過濾 $ (\mathcal{F}_t) $ . 那麼，對於任何 $ u > t \ge 0 $ , $$ \begin{align*} \mathbb{P}(\tau > u \mid \tau > t) &= e^{-\int_t^u \beta(s) ds}. \end{align*} $$ 也就是說，密度 $ \tau $ , 條件是 $ \tau > t $ ， 是（誰）給的 $ \beta(u) e^{-\int_t^u \beta(s) ds} $ ， 為了 $ u > t $ .
讓 $ \mathcal{F}{\infty} = \cup{t\ge 0} \mathcal{F}t $ . 那麼，對於任何 Borel 集 $ A $ , 基於獨立條件 $ \tau $ 和 $ \mathcal{F}{\infty} $ , $$ \begin{align*} &\ \mathbb{E}\left(\left(\mathbb{I}{\tau \geq T} , e^{-\int{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T) + \mathbb{I}{\tau < T}, e^{-\int{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau})\right) \mathbb{I}{X_t \in A}, \big|, \tau > t \right)\ =&\ \mathbb{E}\bigg(\bigg(e^{-\int_t^T \beta(s) ds} e^{-\int{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T) \ &\qquad\quad + \int_t^T e^{-\int_{t}^{u}r(s,X_s)ds}g(u, X_{u}), \beta(u), e^{-\int_t^u \beta(s) ds} du\bigg) \mathbb{I}{X_t \in A}\bigg)\ =&\ \mathbb{E}\left(\left(e^{-\int_t^T r(s,X_s) + \beta(s) ds} g(T,X_T) + \int_t^T e^{-\int{t}^{u}\beta(s) + r(s,X_s)ds}g(u, X_{u}), \beta(u), du\right) \mathbb{I}{X_t \in A}\right). \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} &\ \mathbb{E}\left( 1{\tau \geq T} * e^{-\int_{t}^{T}r(s,X_s)ds}g(T,X_T) + 1_{\tau < T} e^{-\int_{t}^{\tau}r(s,X_s)ds}g(\tau, X_{\tau}), \big|, \tau > t, X_t = x \right)\ =&\ \mathbb{E}\left(e^{-\int_t^T r(s,X_s) + \beta(s) ds} g(T,X_T) + \int_t^T \beta(u), e^{-\int_{t}^{u}\beta(s) + r(s,X_s)ds}g(u, X_{u}), du , \big|, X_t = x \right). \end{align*} $$