布朗運動（帶有漂移和縮放）撞擊障礙的條件機率
我正在嘗試了解障礙期權的定價，並正在考慮布朗運動 $ \mathrm{d}X_t=a\mathrm{d}t+b\mathrm{d}W_t $ , $ a $ 和 $ b $ 持續的。我在嘗試著：
- 得出的分佈 $ X_{T/2} $ 給定 $ X_T $ 和 $ X_0 $ ;
2i) 證明機率 $ \mathbb{P}\left(\inf_{[t_1,t_2]}X_t<L\Big|X_{t_1},X_{t_2}\right)=\mathrm{exp}\left[-\frac{2(X_{t_1}-L)^+(X_{t_2}-L)^+}{b^2(t_2-t_1)}\right] $ ; 和
ii) 找到 $ \mathbb{P}\left(\sup_{[t_1,t_2]}X_t>U\Big|X_{t_1},X_{t_2}\right) $ .
對於 1，有沒有比計算條件密度更好的方法？我嘗試使用用於無漂移布朗運動的方法，但最終得到了多個我無法擺脫的交叉項。對於 2i 和 ii，如何推導出它們？我讀過的文章中提到了反射原理，我理解條件密度可以想像為哪些路徑撞到障礙物的分數，但我真的不太了解，尤其是在 $ (\cdot)^+ $ 運營商進入。非常感謝任何幫助和嚴謹。謝謝！
對於您問題的第 1 部分，簡短的回答是否定的，計算條件密度是一種很長的方法。可能但不是最簡單的。這是較短版本的草圖。我們注意到 $ (X_{T/2},X_{T}) $ 是具有均值的聯合高斯向量 $ \mu = (X_0 + aT/2,X_0 + aT) $ , 和變異數-共變異數矩陣 $$ \begin{pmatrix} b^2 T/2 & b^2 T/2 \ b^2 T/2 & b^2 T \end{pmatrix} $$
高斯向量的一個元素在另一個元素上的條件分佈是高斯的。所以條件分佈 $ X_{T/2} \vert X_T $ 是高斯的。該分佈的均值和變異數可以表示為 $ X_T, X_0, \mu,\Sigma $ . 可以在很多地方找到詳細資訊，例如這裡。特別是條件均值只是一個線性回歸公式，很容易記住
$$ \mathrm{E}(X_{T/2} \vert X_T) = X_0 + aT/2 + \beta (X_T - aT - X_0) $$ 在哪裡 $$ \beta = \frac{b^2 T/2}{b^2T} = \frac{1}{2} $$ 所以它簡化為 $$ \mathrm{E}(X_{T/2} \vert X_T) = (X_0 + X_T)/2 $$ 條件變異數是按照類似的方法計算的（見上面的連結）
有趣的是，條件均值，事實上，整個條件分佈不依賴於漂移 $ a $ 並且與標準布朗運動相同 $ a=0 $ ，即所謂的布朗橋。
Q2 涉及更多，您應該在任何體面的隨機微積分教科書中查找它（Karatzas & Shreve 是我最喜歡的）。如您所見，右側與漂移無關 $ a $ . 我們對 Q1 的討論證明了（如果有點缺乏正式的證明）為什麼會出現這種情況——一旦你“固定”了布朗運動的開始和結束，它具有（恆定）漂移的事實就不再相關了.
至於你的具體觀點是什麼 $ (…)^+ $ 公式中的術語正在執行。這只是為不同的配置使用一個公式的便捷捷徑 $ X_{t_1} $ , $ X_{t_2} $ 和 $ L $ . 例如，如果 $ X_{t_1} < L $ 那麼 lhs 是平凡的 1，而 rhs 是 $ 1 $ 也因為在這種情況下$(X_{t_1) - L)^+ =0 $。