Copula 解析公式為米×（小號1噸-K,0)1{L<小號2噸<u}米一個X(小號噸1−ķ,0)1{大號<小號噸2<在}max(S_T^1 - K, 0) 1{{L<S_T^2<U}}
考慮支付函式 $$ V_T = max(S_T^1 - K, 0) 1_{{L<S_T^2<U}} = (S_T^1 - K)1_{{S_T^1 > K}}1_{{L<S_T^2<U}} $$
在哪裡 $ S_T^1 $ 和 $ S_T^2 $ 是兩個具有相關性的 GBM 分佈股票， $ \rho $ . 你會怎麼找到 $ V_t $ 不使用 MC 模擬（提示：使用高斯 copula）？
我的嘗試： $$ V_t = e^{-r(T-t)}E[(S_T^1 - K)1_{{S_T^1 > K}}1_{{L<S_T^2<U}}] $$ $$ V_t = e^{-r(T-t)}\int_{L}^{U}\int_{K}^{\infty}(x-K)f_{x,y}(x,y)dxdy $$
在哪裡 $ f_{x,y} $ 是來自 Guassian copula 的聯合 pdf。我現在如何走得更遠？如果我不能，我將如何在電腦上實現雙積分？
為簡單起見，我們假設 $ r = 0 $ . $$ V_t = E^Q((S_T^1 - K)1_{{S_T^1 > K}}1_{{L<S_T^2<U}}) = E^Q(S_T^11_{{S_T^1 > K}}1_{{L<S_T^2<U}}) - KE^Q(1_{{S_T^1 > K}}1_{{L<S_T^2<U}}) $$ 對於第二個任期： $$ E^Q(1_{{S_T^1 > K}}1_{{L<S_T^2<U}})=P({S_T^1 > K}\cap { L<S_T^2<U }) =P({(W_T^1-W_t^1) > d_1 }\cap { d_2<(W_T^2-W_t^2))<d_3 }) $$ 和 $$ d_1 = \frac{\ln (K/S_t^1)+(1/2\sigma^1)(T-t))}{\sigma^1} $$ $$ d_2 = \frac{\ln (L/S_t^2)+(1/2\sigma^2)(T-t))}{\sigma^1} $$ $$ d_3 = \frac{\ln (U/S_t^2)+(1/2\sigma^2)(T-t))}{\sigma^1} $$ 因為 $ (W_T^1-W_t^1,W_T^2-W_t^2) $ 遵循二維高斯分佈，可以很容易地得到解析公式 $ E^Q(1_{{S_T^1 > K}}1_{{L<S_T^2<U}}) $ .
現在，第一學期 $ E^Q(S_T^11_{{S_T^1 > K}}1_{{L<S_T^2<U}}) $ ，我們將度量更改為 $ S_t^1 $ 作為現金。 $$ E^Q(S_T^1 1_{{S_T^1 > K}}1_{{L<S_T^2<U}}) = S_t^1 E^{Q_{S^1}}(1_{{S_T^{1} > K}}1_{{L<S_T^{2}<U}}) $$ 在新的測量中，我們有 $$ dW_t^{1’} = dW_t^1 -\sigma^1dt $$ $$ dW_t^{2’} = dW_t^2 -\sigma^1\rho dt $$ 和 $$ \frac{dS_t^1}{S_t^1} = \sigma^1 dW_t^1 = \sigma^1 (dW_t^{1’} + \sigma^1dt) $$ $$ \frac{dS_t^2}{S_t^2} = \sigma^2 dW_t^2 = \sigma^2 (dW_t^{2’} + \sigma^2 \rho dt) $$ 通過我們對第一項所做的相同論證，我們得到了解析公式 $ E^{Q_{S^1}}(1_{{S_T^{1} > K}}1_{{L<S_T^{2}<U}}) $ .