COS方法和密度的存在
嘿，在COS方法中我們使用特徵函式 $ \ln{S_T} $ 為歐式期權定價（通過從特徵函式中恢復密度）。但是我們怎麼知道密度存在呢？例如，我想用這種方法對 Kou、NIG 或 CGMY 模型中的期權定價，這些 Levy 過程是否有密度，我們可以使用這種方法嗎？我知道如果特徵函式是可積的定理，即 $ \int_{\mathbb{R}}|\phi (t)|dt<\infty $ 則存在關於 Lebesque 測度的連續密度。對於我提到的流程以及所有 Levy 流程，特徵函式是否可積分？
範例：寇模型
好吧，讓我們看看 Kou 模型 $$ \phi_{\ln(S_t)}(u)=\exp\left(\underbrace{\ln\left(S_0e^{(r-q+\omega)t}\right)iu}{=(\star)};;\underbrace{-\frac{1}{2}\sigma^2tu^2}{=(\star\star)}+\underbrace{\lambda t\left(\frac{p\eta_+}{\eta_+-iu}+\frac{p’\eta_-}{\eta_-+iu}-1\right)}_{=(\star\star\star)}\right), $$ 在哪裡
- $ r $ 和 $ q $ 是利率和股息收益率
- $ \sigma $ 是波動率
- $ p $ 和 $ p’ $ 是上下跳躍的機率（ $ p+p’=1 $ )
- $ \eta_+>1 $ 和 $ \eta_->0 $ 與（反向）平均跳躍大小有關
- $ \omega $ 是跳躍補償，確保 $ S_te^{-(r-q)t} $ 是鞅。
我聲稱我們可以很容易地證明 $$ \begin{align*} \int_\mathbb{R}|\phi(u)|\text{d}u<\infty. \end{align*} $$
- 清楚地， $ |e^{(\star)}|\leq 1 $ 由歐拉公式。所有這些點都在單位圓上。
- 下一個， $ |e^{(\star\star)}| $ 衰減超快，就像高斯鐘形曲線。所以 $ \int_\mathbb{R} |e^{(\star\star)}|<\infty $ .
- 這 $ (\star\star\star) $ 情況並不難。首先， $ -\lambda t $ 可以從積分中取出，不會打擾我們。接下來，合理化分母，我們得到 $$ \begin{align*} \left|\exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+}{\eta_+-iu}\right)\right| &= \left|\exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+(\eta_++iu)}{\eta_+^2+u^2}\right)\right| \ &= \left|\exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+\eta_+}{\eta_+^2+u^2}\right)\exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+ui}{\eta_+^2+u^2}\right)\right| \ &\leq \exp\left(\frac{\lambda tp\eta_+\eta_+}{\eta_+^2+u^2}\right). \end{align*} $$ 這會產生進一步的指數衰減，因為 $ u\to\pm\infty $ 並且仍然是有限的 $ u=0 $ . 事實上，我們可以通過一個常數來估計這個術語。這同樣適用於 $ \eta_- $ 分數。
因此，總而言之， $ (\star) $ 以一為界， $ (\star\star) $ 看起來像鐘形曲線 $ (\star\star\star) $ 也是有界的。綜合起來， $ \phi $ 以指數方式快速衰減並且在 $ L^1(\mathbb{R}) $ .
幾點注意事項
- 黎曼-勒貝格引理告訴我們特徵函式（傅里葉變換）收斂到零 $ u\to\pm\infty $ . 我們需要證明的是它們足夠快地收斂到零。
- 您可以對 NIG 模型和其他特徵函式進行類似的限制
- 對於這些指數 Lévy 過程，機率密度函式很少以封閉形式為人所知。特徵函式雖然很簡單。您始終可以通過（數字）傅里葉反轉特徵函式來獲得 PDF。
旁注：不確定性原則
要記住的一件事是不確定性原理：如果 $ f $ 展開，然後它的傅里葉變換 $ \hat{f} $ 非常“緊湊”，反之亦然。如果時間跨度，原木股票價格的密度非常分散 $ t $ 大：股票價格在 5 年內的潛在價值範圍很廣。然而，明天股價的密度在今天的價值附近非常見頂。因此，特徵函式在短期內非常分散，但在長期內衰減得非常快。正態分佈特徵函式的虛部範例（實部看起來相似）：
