延遲結算選項-布萊克斯科爾斯的價值觀將如何變化
如果有一個期權在一年後到期，但在 2 年後結算，那麼針對這種情況的布萊克斯科爾斯公式會是什麼樣子？現在的無風險利率是 2 年還是 1 年？
我的想法是：既然我們可以將期權分解為固定利率投資+波動性股票，那麼對價格變化產生任何影響的唯一因素就是股票波動性。所以我們採取的無風險利率應該只有一年。這是正確的思考方式嗎？
對於延遲現金結算的期權，到期時間 $ T $ 和結算時間 $ T_p(\geq T) $ , 支付 $ (S_T-K)^+ $ 在 $ T_p $ ，這筆付款的現值 $ T $ 是：
$$ E_T\left[\beta_T \beta_{T_p}^{-1} (S_T-K)^+ \right] = P(T,T_p)(S_T-K)^+, $$
和 $ \beta_t = \exp \left(\int_0^t r_u du \right) $ , $ r $ 無風險利率， $ P $ 相關的零息債券價格， $ P(u,U)= E_u\left[\beta_u \beta_{U}^{-1} \right] $ .
因此，由於條件期望塔屬性，期權的現值在 $ t(\leq T) $ 是：
$$ E_t\left[\beta_t \beta_{T_p}^{-1} (S_T-K)^+ \right] = E_t\left[E_T\left[\beta_t \beta_{T_p}^{-1} (S_T-K)^+ \right]\right] $$ $$ =E_t\left[\beta_t \beta_{T}^{-1} E_T\left[\beta_T \beta_{T_p}^{-1} (S_T-K)^+ \right] \right] $$ $$ = E_t\left[\beta_t \beta_{T}^{-1} P(T,T_p) (S_T-K)^+ \right]. $$
如果我們對否則隨機的做出“凍結”假設， $ P(T,T_p) $ :
$$ P(T,T_p) = \frac{P(t,T_p)}{P(t,T)}, $$
我們得到：
$$ \frac{P(t,T_p)}{P(t,T)}E_t\left[\beta_t \beta_{T}^{-1} (S_T-K)^+ \right] $$
（標準的 BS 公式只是獲得一種現金“運輸”調整乘數）。
為了清楚起見，我們正在談論一個支付的選項 $ max(0,S_1-K) $ 按時支付 $ t=2 $ . 那麼這個和標準選項之間的唯一區別是額外的折扣 $ t=1 $ 至 $ t=2 $ . 所以價格 $ P $ 必須滿足$$ P=BS/(1+r) $$其中 BS 是正常的 Black Scholes 價格，並且 $ r $ 是遠期無風險利率 $ t=1 $ 至 $ t=2 $ .
以上在技術上假設利率是非隨機的。