靜態複製公式推導
我知道一種計算衍生品價格的方法 $ S^2 $ 有時 $ T $ 是通過使用以下策略：
$ V=\int_{0}^{\infty} s^2 \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(K=s)ds $
在哪裡 $ \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(K=s) $ 只是風險中性分佈 $ S $ .
現在，應該兩次應用部分積分以獲得呼叫價格的積分。我的問題是，這個策略/公式的名稱是什麼？我在哪裡可以找到它的派生詞？
編輯：通過部分集成一次，我得到：
$ V=\left[ s^2 \frac{\partial C}{\partial K}(K=s) \right]^{\infty}{0} -\int{0}^{\infty} 2s \frac{\partial C}{\partial K}(K=s)ds $
第一項為零，但我不知道為什麼。你能提供一個解釋嗎？現在通過第二次積分，一階導數應該變成期權的價格。但由於我不知道為什麼第一項為零，我猶豫是否繼續推導。你能幫忙下一步嗎？編輯：考慮到提供的答案，第一項為零，
$ V= -\int_{0}^{\infty} 2s \frac{\partial C}{\partial K}(K=s)ds $
然後我們第二次按部分積分：
$ V= -\left(\left[2kC(k)\right]{0}^{\infty}-\int{0}^{\infty} 2 C(s)ds \right) $
現在，作為
$ C(k=\infty)=0 $
然後：
$ V= 2\int_{0}^{\infty}C(K=s)ds $
那是對的嗎？
校樣草圖
$$ \lim_{S\rightarrow \infty} S^2 \frac{\partial C}{\partial K}(K=S) = 0. $$
我們有：
$$ C(K) = E\left[(S_T-K)^+\right] = \int_K^\infty (u-K)f_{S_T}(u) du $$ $$ \frac{\partial C}{\partial K} = \int_K^\infty \frac{\partial }{\partial K}(u-K)f_{S_T}(u) du = -\int_K^\infty f_{S_T}(u) du =-(1-F_{S_T}(K)) $$
$$ \frac{\partial C}{\partial K}(K=\infty) = 0 $$
接下來，我認為可能需要假設互補 cdf 有一條細尾巴：
$$ \lim_{x\rightarrow \infty} x^2 (1-F_{S_T}(x)) = 0 $$
在正態分佈的情況下，這是正確的，因為根據WolframAlpha，我們有： $$ \lim_{x\rightarrow \infty} x^2 {\rm erfc(x)} = 0. $$
**注意：**另請參閱此Quant SE 直接解決方案。
因為你的回報只取決於 $ S_T $ , 你可以使用 Carr-Madan-formula
$$ f(S_T)=f(F_t) + f’(F_t) (S_T - F_t) + \int_0^{F_t} f’’(K) (K-S_T)^+ \ d K + \int_{F_t}^{\infty} f’’(K) (S_T-K)^+ \ d K $$
得到一個靜態複製公式。在您的範例中，您有 $ f(S_T)=S_T^2 $ 因此 $ f’(F_t)=2F_t $ 和 $ f’’(F_t)=2 $ . 然後選擇 $ F_t=0 $ 要得到：
$$ S_T^2=\int_0^\infty2(S_T-K)^+\mathrm{d}K=2\int_0^\infty(S_T-K)^+\mathrm{d}K $$
因此，您可以通過使用歐洲看漲期權組合來複製收益。也許這個解決方案比零件集成更容易。