折扣價格過程 - 鞅
我有一個過程 $ S_{t}=S_{0}e^{\left(r-q\right)t+mt+X_{t}} $ ， 在哪裡 $ X_t $ 是徵費流程，我想檢查哪個 $ m $ 過程 $ e^{-(r-q)t}S_t $ 是鞅。鞅的第三個條件表明，對於 $ s\leq t $ $$ E(e^{-(r-q)t}S_t|F_s)=e^{-(r-q)s}S_s, $$在哪裡 $ F_s $ 是過程產生的過濾 $ S_t $ .
許多作者寫道，這個過程是一個鞅，當 $ E(e^{-(r-q)t}S_t)=S_0 $ 即什麼時候 $ m=-\frac{1}{t}\ln\left(\phi_{X_{t}}\left(-i\right)\right) $ ， 在哪裡 $ \phi_{X_t} $ 是特徵函式 $ X_t $ .
他們為什麼不以條件為條件 $ F_s $ 當他們驗證過程是鞅？
指數 Lévy 過程通常通過以下方式建模$$ S_t = S_0\exp\left(\left(r-q+\omega\right)t+X_t\right), $$在哪裡 $ X_t $ 是一個Lévy過程 $ X_0=0 $ . Lévy 過程包括三個模型特徵：線性漂移、擴散衝擊和跳躍（可能大而罕見或小而頻繁）。號碼 $ \omega $ 稱為鞅修正或Jensen 修正，保證鞅性質。
為了使我們的標準金融理論起作用，再投資和貼現的股票價格， $ S_te^{-(r-q)t} $ , 必須是下鞅 $ \mathbb{Q} $ （假設利率和股息收益率不變）。讓 $ (\mathcal{F}_t) $ 表示自然過濾 $ X_t $ . 那麼，對於任何 $ s\leq t $ , $$ \begin{align*} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_t|\mathcal{F}_s] &= \mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_0e^{(r-q+\omega)t+X_s+(X_t-X_s)}|\mathcal{F}s] \ &= S_0e^{(r-q+\omega)t} e^{X_s} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{X_t-X_s}] \ &= S_s e^{(r-q+\omega)(t-s)} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{X{t-s}}], \end{align*} $$ 我們用的地方 $ X_s $ 是 $ \mathcal{F}s $ - 可測量的，並且 $ X_t-X_s\overset{d}{=} X{t-s} $ 獨立於 $ \mathcal{F}_s $ ，請看這裡。
讓 $ \varphi_{X_t}(u)=\mathbb{E}[e^{iuX_t}] $ 是 Lévy 過程的特徵函式 $ X_t $ . Lévy-Khintchine公式指出 $ \varphi_{X_t}(u)=e^{t\Psi(u)} $ 這是從 Lévy 過程的無限可分性得出的。功能 $ \Psi $ 被稱為特徵指數並擷取了漂移、擴散和跳躍分量 $ X_t $ .
然後， $$ \begin{align*} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_t|\mathcal{F}s] &= S_s e^{(r-q+\omega)(t-s)} \varphi{X_{t-s}}(-i) \ &= S_s e^{(r-q+\omega)(t-s)} e^{(t-s)\Psi(-i)}. \end{align*} $$ 因此，設置 $ \omega=-\Psi(-i) $ 產量 $$ \begin{align*} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_t|\mathcal{F}_s] &= S_s e^{(r-q)(t-s)}, \end{align*} $$ 這反過來意味著貼現的再投資股票價格確實是 $ \mathbb{Q} $ -鞅。
注意$$ \omega=-\Psi(-i)=-\frac{1}{t}\ln\left(\varphi_{X_t}(-i)\right) $$與時間無關。因此，對於指數 Lévy 過程，如果您驗證 $ \mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_t]=S_0e^{(r-q)t} $ .